람다 미적분의 확장에서의 η- 전환 대 확장 성

나는 종종 η- 변환과 확장 성의 관계에 혼란스러워한다.

편집 : 의견에 따르면, 확장 등가와 관측 등가의 관계에 대해서도 혼란스러워합니다. 그러나 함수에 대한 확장 평등이있는 Agda에서 (가정으로), 단순하게 입력 된 람다 미적분학 (실수가 아닌 경우 완전히 추상적 인 의미론을 가짐)의 경우, 동등성 동등성은 관측 적 동등성과 동일합니다. 의견이나 답변으로 나를 바로 고치십시오. 나는 이런 문제들에 대해 체계적인 교육을받지 못했습니다.

형식화되지 않은 람다 계산법에서 ETA-규칙 (인용 등의 Barendregt에 의해 입증 extensionality의 규칙과 동일한 증명 시스템, 제공 에 대한 답변 을 이 질문에 ). 나는 eta-rule을 가진 증명 시스템이 관측 적 동등성을 위해 완성되었다는 것을 의미한다는 것을 이해합니다. .

그러나 입력 된 미적분학으로 전환하고이 미적분을 추가 기본 유형과 해당 소개 및 제거 양식으로 추가하면 어떻게됩니까? 우리는 여전히 관측 적 동등성을위한 완전한 증거 시스템을 작성할 수 있습니까? 나는 Mitchell의 프로그래밍 언어 기초 (FPL)에 따라 공리적 의미론의 형태로 증명 시스템에 대해 이야기 할 것이다. 증명 시스템 / 축적 의미론은 프로그램 동등성을 정의합니다.

질문 1 : Barendregt의 정리가 STLC로 확장됩니까? η- 등가는 그 맥락에서 확장 성과 동등합니까?

PCF에 대한 FPL의 토론을 탐색하고 있지만 아직 섹션을 완료하지 못했습니다. 일단 페어를 추가하면 확장성에 추가 규칙, 즉 Surjective Pairing이 필요합니다 pair (Proj1 P, Proj2 P) = P. 흥미롭게도,이 규칙은 η- 규칙이 기능의 도입 및 제거와 관련이있는 것처럼 쌍의 도입 및 제거와 관련이 있습니다.

질문 2 : 쌍을 가진 단순 유형의 λ 미적분에서 확장 성을 증명하기 위해 외과 적 쌍용 공리를 추가하는 것으로 충분합니까? 편집 : 질문 2b : 내가 언급 한 구조적 유사성 때문에이 백서 에서 언급 한 η-laws와 같이 η-law를 쌍으로 묶고 있습니까?

이제 PCF로 가자. 내가 본 확장 평등에 대한 설명 나는 확장 성이 귀납법에 의한 증명 규칙을 의미한다는 것을 증명하지만, 그것이 충분한 지 말하지는 않는다. PCF는 Turing-complete이므로 확장 평등을 결정할 수 없습니다 . 그러나 증명의 길이가 제한되지 않기 때문에 완전한 증명 시스템이 없음을 의미하지는 않습니다. 더 적절하게는, 그러한 증명 시스템은 고델의 불완전 성 이론에 위배 될 수 있습니다. 그리고 그 주장은 PCF없이 fix그리고 Gödel의 시스템 T 에도 적용될 수 있습니다 .

질문 3 : PCF의 관측 적 동등성을위한 완전한 증거 시스템이 있습니까? 없는 PCF는 fix어떻습니까?

업데이트 : 완전 추상화

나는 완전한 추상화에 대한 의견에 대해 여기에 대답합니다. PCF는 두 가지 다른 종류의 문제가 있다고 생각합니다. 종료되지 않은 (수정을 통해) 완전한 추상화의 손실을 유발하지만 자연 수도 있습니다. 두 문제 모두 관측 적 동등성을 다루기 어렵게하지만 나는 서로 독립적으로 믿는다.

한편으로 PCF는 의미 론적 영역에서 병렬화되거나 그 때문에 존재하기 때문에 완전한 추상화를 잃어 버리고 (Plotkin 1977), 이는 종료되지 않는 것과 관련이있는 것 같습니다. 랄프 로더 (Ralph Loader) (2000, "초기 PCF는 결정할 수 없음")는 (자연적이지만 종료되지 않은) 초기 PCF가 이미 결정 불가능하다는 것을 보여준다. 따라서 (정확하게 요약하면) 완전히 추상적 인 의미는 계산 가능한 연산을 가진 도메인으로 제한 할 수 없습니다.

반면, 종료되지 않은 Gödel의 System T를 사용하십시오. (완전히 추상적 인 의미론을 가지고 있는지는 확실하지 않지만 문제는 PCF에만 언급되어 있기 때문에 추측합니다. 도메인은 고차원의 원시 재귀 함수를 포함해야합니다). Harper 's Practical Foundations for Programming Languages는이 언어의 관측 적 동등성을 논의합니다. 비서. 47.4의 제목은 "일부 평등 법칙"이며 관측 가능한 동등성에 대한 몇 가지 허용 가능한 증거 규칙을 보여줍니다. 어디에도 증명 시스템이 완전한지 여부가 표시되어 있지 않기 때문에 그것이 아니라고 생각합니다. 최고의 추측은 괴델의 불완전 성 정리와 관련이 있습니다.

pl.programming-languages lambda-calculus

— 블 레저 블레이드
소스

나는 이것의 일부에 대답 할 수 있다고 생각하지만, 당신이 무엇을 묻는 지 혼란 스럽습니다. 당신이 말하는 질문은 프로그램 동등성에 관한 것이 아닙니다. 관측 적 동등성을 의미합니까? 어떤 동작 의미론을 위해? 따라서 본질적으로 질문 1의 "증거"가 무엇을 의미하는지 정확하게 설명하면 무슨 일이 일어나고 있는지 추측 할 수 있습니다. 지금까지 나의 최선의 추측 : 당신은 관측 적 동등성을 위해 완전한 방정식 이론을 원하고, -rules가 충분한 지 우리에게 묻고 있습니다. 그게 다야?

η

$\eta$

— Andrej Bauer

@ AndrejBauer : 당신의 추측이 맞습니다. 질문을 업데이트하기 시작할 것입니다.

— Blaisorblade

운영 의미론에 대해 잘 모르겠습니다. 원래 정리에 차이가 있습니까?

— Blaisorblade

나는 질문을 더 세분화하려고 노력했다. 그러나 나는 여전히 당신의 최선의 추측이 맞다고 생각합니다.

— Blaisorblade

여기에는 작은 문제가 있습니다. 자연수에 대한

가 무엇인지 는 확실하지 않습니다 ! 단지 기능과 제품 유형 만 가지고 있다면 분명합니다. 항은

같으면 관측 적으로 동일합니다. 더 일반적으로, 나는 이것이 완전한 추상화 문제와 관련이 있다고 생각합니다 .

η

$\eta$

β η

$\beta\eta$

— 코디

나는 당신의 질문에 완전히 대답 할 수 있을지 확신하지 못합니다. 그러나 나는 그것을 쏘고이 주제에 대해 좀 더 논의 할 수있는 몇 가지 질문을 할 것입니다.

두 용어 : 내 제 지점이있다 에 지정되지 않은 것으로 알려져있다 -calculus observably 동일한 모든 용어 용 IFF : 여기서 종료의 수단 "이 갖는 - 보통 형태" $t, t'$ $\lambda$ $M$

미디엄 티 종료 \Leftrightarrow 미디엄 티^{'} 종료

$M\ t \mbox{ terminates } \Leftrightarrow M\ t' \mbox{ terminates }$

β

$\beta$

나는 단순히 용어 대신 "구멍"이나 문맥 용어를 고려 하고 대신 를 쓰는 것이 더 자연 스럽다는 것을 알게되었다 . 추상화를 통해 컨텍스트 를 항으로 바꿀 수 있으므로 두 뷰는 확실히 동일합니다 (변수가 컨텍스트에 의해 구속되지 않는 경우) . $E[\_]$ $M$ $E[t]$ $M\ t$ $E[\_]$ $\lambda x.E[x]$

지금은 유형이 지정되지 않은 수학에서 관찰 평등 것이 사실이다 캡처되지 않습니다 에 의해 -equality은! 실제로 용어의 전체 분류가 있으며, 두 용어 모두 종료되지 않고 머리의 정상적인 형태가 없으므로 모두 동일합니다. 이들은 때때로라고 영구 용어 또는 해결 못하는 조건 이 개 같은 조건을, 여기에 있습니다 : 및 $\beta\eta$

(λ 엑스 . 엑스 엑스) (λ 엑스 . 엑스 엑스)

$(\lambda x. x\ x)(\lambda x. x\ x)$

는 이러한 용어가 아니라는 것을 보여주기 위해 아주 쉽게

-equal.

(λ 엑스 . 엑스 엑스 엑스) (λ 엑스 . 엑스 엑스 엑스)

$(\lambda x. x\ x\ x)(\lambda x. x\ x\ x)$

β η

$\beta\eta$

모든 영구 항이 식별되면 고전적인 결과에 의해 관측 평등이 완전히 포착됩니다 ( Barendregt 정리 16.2.7 참조 ).

이제 입력 된 미적분학. 자연수없이 간단히 입력 된 미적분을 먼저 고려해 봅시다 . 모든 항이 정규화됨에 따라 관찰 평등의 위 정의는 사소한 것이됩니다! 더 미세한 구별이 필요합니다. 우리는 가치 평등 사용할 것입니다 $\lambda$ 과 의 유형에 대한 유도로 정의 된 닫힌 항에 대해 를. 먼저 각 유형 에 대해 상수 상수 추가합시다. 상수 선택하겠습니다 $t_1\downarrow t_2$ $t_1$ $t_2$ $A$ $c_A, c_A', c''_A,\ldots$ $c_x$ 각 변수 에 해당하는 적절한 유형 . $x$

베이스 타입에서 , IFF 의 -head 정규형 인 $B$ $t_1\downarrow t_2$ $\beta$ $t_1$ 그리고 그 인 및 및 해당 유형에 따라 다릅니다. $c\ u_1\ldots u_n$ $t_2$ $d\ v_1\ldots v_n$ $c=d$ $u_1\downarrow v_1,\ldots, u_n\downarrow v_n$
화살표 형태에서, IFF 두 용어 를 줄입니다에 -abstraction. $t_1\downarrow t_2$ $\beta$ $\lambda$

이 정의 에서는 변환 만 사용 합니다. $\beta$

이제 컨텍스트를 다음과 정의합니다 : 는 각각 머리 문맥, 적용, 추상화 및 대체 (닫힌 용어로)를 사용합니다.

[_] ∣ 이자형 [_] 유 ∣ 티 이자형 [_] ∣ λ 엑스 . 이자형 [_] ∣ 이자형 [_] θ

$[\_]\mid E[\_]\ u\mid t\ E[\_]\mid \lambda x.\ E[\_]\mid E[\_]\theta$

우리는 정의 할 수 있습니다 와 잘 타입의 입력, 의 경우 관측에 해당하는 것으로 만 모든 상황에 대한 경우 $t$ $t'$ $T$ $E[\_]$ 되도록 잘 입력되고 폐쇄 . 우리는 이 경우에 쓸 것이다. $E[t],E[t']$

E [t] ↓ E [t^{'}]

$E[t]\downarrow E[t']$

t =_{o b s} t^{'}

$t=_{\mathrm{obs}}t'$

이제는 이면 있습니다. 다른 방향 덜 간단하다, 또한 보유 : 사실, 만약 , 우리는 용어가 동일하다고 나타낼 수 유형에 의해 유도 : $t=_{\beta\eta}t'$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$ $t=_{\mathrm{obs}}t'$ $\beta\eta$

기본 유형에서는 간단히 를 로하고 를 보내는 대입을 합니다 . 우리는이 로 $E[\_]$ $[\_]\theta$ $\theta$ $x$ $c_x$ 와 . 우리는 및 $E[t]=t\theta$ $E[t']=t'\theta$ $t\theta\rightarrow_\beta c_x\ u_1\theta\ldots u_n\theta$ . 그런 다음 이므로 입니다. 이제 우리는 라고 즉시 결론을 내릴 수 없습니다 . 실제로, 및 가 추상 값이면, 사소하게 ! 여기서 속임수는 를 보내는 것입니다. $t'\theta\rightarrow_\beta c_{x'}\ v_1\theta\ldots v_n\theta$ $c_x=c_{x'}$ $x=x'$ $u_i\theta=_{\beta\eta}v_i\theta$ $u_i$ $v_i$ $\lambda$ $u_i\theta\downarrow v_i\theta$ $x$ 필요한 횟수만큼 반복하십시오. 나는 여기에 대한 세부 사항에 약간 모호하지만 아이디어는 Böhm의 정리와 비슷합니다 (Barendregt 다시 10.4.2).
$λ \vec{y} . \tilde{c_{x}} (y_{1} \vec{c_{1}}) \dots (y_{n} \vec{c_{n}})$ $\lambda \vec{y}.\tilde{c_x}\ (y_1\vec{c_1})\ldots (y_n\vec{c_n})$
화살표 유형에서 받아 로 , 즉, 애플리케이션에 와 및 하지의 또는 . 귀납 가설에 의해 우리는 다음을 가진다 : $E[\_]$ $[\_]\ c_y$ $c_y$ $c_y$ $y$ $t$ $t'$ 등 제공
$t c_{y} =_{β η} t^{'} c_{y}$ $t\ c_y \ =_{\beta\eta}\ t'\ c_y$ $t y =_{β η} t^{'} y$ $t\ y \ =_{\beta\eta}\ t'\ y$ 및 마지막으로-equal : $\lambda y.t\ y\ =_{\beta\eta}\ \lambda.t'\ y$ $\eta$ $t =_{β η} t^{'}$ $t\ =_{\beta\eta}\ t'$

예상보다 어려웠습니다!

$\mathbb{N}$ $0$ $S$ $\mathrm{rec_T}$ $T$ $\beta$

r e c_{T} u v 0 \to_{β} u

$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ 0\rightarrow_{\beta} u$

r e c_{T} u v (S n) \to_{β} v n (r e c_{T} u v n)

$\mathrm{rec_T}\ u\ v\ (S\ n)\rightarrow_{\beta} v\ n\ (\mathrm{rec_T}\ u\ v\ n)$

$\eta$

λ x . x =_{β η} r e c_{N} 0 (λ k m . S m)

$\lambda x.x\ =_{\beta\eta}\ \mathrm{rec_{\mathbb{N}}}\ 0\ (\lambda k\ m.S\ m)$

m

$m$

\frac{f (S x) =_{β η} h x (f x)}{f t =_{β η} r e c_{T} (f 0) h t}

$\frac{f\ (S\ x)\ =_{\beta\eta}\ h\ x\ (f\ x)}{f\ t\ =_{\beta\eta}\mathrm{rec_T}\ (f\ 0)\ h\ t}$

x

$x$

η

$\eta$

h

$h$

${\cal M}$ $t_{\cal M}$ $T$ $t_{\cal M}\ (S\ldots\ S\ 0)$ $n$ $S$ $1$ ${\cal M}$ $n$ $0$

${\cal M}$

t_{M} = λ x .0

$t_{\cal M}\ = \lambda x.0$

β η

$\beta\eta$

M

${\cal M}$

0 =_{β η} S 0

$0\ =_{\beta\eta}\ S\ 0$

T

$T$

t_{M} = λ x .0

$t_{\cal M}=\lambda x.0$

— 코디
소스

답변 주셔서 감사합니다! 나의 첫 번째 질문은 : 관찰 적 동등성에 대한 맥락에서 대체를하는 것이 일반적인가? 적어도 Plotkin의 LCF 논문 (1997)은 그렇게하지 않습니다 (그러나 대체와 같은 것이 구문의 일부인 일부 폐쇄 미적분학에서 의미가 있다고 상상할 수는 있지만). 그러나 나는 각각의 "대체"문맥에 대해 람다-추상과 응용을 사용하는 좀 더 "표준"문맥을 정의 할 수 있다는 것을 쉽게 알 수있다. (λx. []) c_x; 위의 관측 동등성은 내가 익숙한 정의와 동일하다고 생각합니다.

— Blaisorblade

t = λ x .0

$t = \lambda x.0$

0 =_{β η} S 0

$0 =_{\beta\eta} S 0$

M

${\cal M}$

0 =_{β η} S 0

$0 =_{\beta\eta} S 0$

0 \neq_{β η} S 0

$0 \not=_{\beta\eta} S\ 0$

M

${\cal M}$

t = λ x . 0

$t = \lambda x . 0$

P A

$\mathrm{PA}$

0 \neq 1

$0\neq 1$

P A ⊬ 0 = 1

$\mathrm{PA}\not\vdash 0=1$

T

$T$

\frac{에프 0 = 지 0 에프 (에스 0) = 지 (에스 0) \dots}{에프 = 지}

$\frac{f\ 0=g\ 0\quad f\ (S\ 0)=g\ (S\ 0)\ldots}{f=g}$

맞습니다! 증거 이론적 목적 (예 : 서수 분석)을 위해 이러한 "비 초기"시스템을 고려하는 것이 때때로 이치에 맞습니다.

— 코디