NP-Complete 문제 내에 Polynomially로 해결할 수있는 문제의 매우 큰 숨겨진 부분 집합이있을 수 있습니까?

P! = NP라고 가정하십시오.

우리는 언제든지 3-SAT를 쉽게 만들 수 있다는 것을 알고 있습니다. 알고리즘이 빠르게 해결할 수 없기 때문에 하드 인스턴스라고 생각되는 것을 생성 할 수도 있습니다. 주어진 인스턴스 크기 (n) 크기가 Poly (n) 이하인 Poly (n) (또는 심지어 일정한) 인스턴스 만있는 한, 하드 인스턴스 세트가 임의로 작아지는 것을 막는 것이 있습니까?

하드 3-SAT 인스턴스의 경우 NP-Completeness 감소주기를 통한 루핑을 통해 줄어드는 모든 3-SAT 인스턴스 세트를 추가해야하지만, 하드 인스턴스 수에이 추가를 기대하지는 않습니다. .

이 세상에서 우리는 예외적으로 몇 가지를 제외하고 모든 NP 완료 문제를 다항식으로 해결하는 알고리즘을 만들 수 있습니다.

편집 : 질문의 더 부드러운 변형 : P! = NP를 보여 주더라도 크기 n 3 -SAT 문제를 생성하는 주어진 방법이 실제로 필요한 확률로 어려운 것을 생성했는지 여부를 어떻게 알 수 있습니까? P! = NP만으로 알 방법이 없다면 어려운 NP- 완전 문제를 생성 할 수 있다는 것을 보여주기 위해 무엇이 필요합니까?

np-hardness p-vs-np

— 엘리엇 JJ
소스

예. 최악의 경우 NP- 완전 문제는 어렵다. NP- 완전 문제의 대부분의 경우를 효율적으로 해결할 수 있습니다. 그러나 Russell Impagliazzo는 평균 사례 NP- 완전 문제는 존재하지만 단방향 함수는 존재하지 않는 세계 (Pessiland)를 제안했습니다. 이 세상에서 우리는 알려진 솔루션으로 NP- 완전 문제의 하드 인스턴스를 생성 할 수 없습니다.

— Mohammad Al-Turkistany

각 길이의 하드 인스턴스 세트가 다항식으로 작은 경우 NP는 P / 폴리에 포함됩니다. 이것을 보는 다른 방법도 있습니다. HeurP를 검색하십시오.

— Kaveh

이 질문 은 편집 내용을 해결하는 것으로 보입니다. 단 항일 경우에만 SAT의 하드 인스턴스를 (결정적으로) 생성 할 수 있습니다

N P \neq

$\mathsf{NP} \neq$ 단항

P

$\mathsf{P}$ .

— usul

@ SarielHar-Peled 특히 NP

\subseteq

$\subseteq$ P / poly는 PH를 두 번째 수준으로 축소합니다. 이는 P! = NP와 일치합니다.

— Suresh Venkat

최악의 경우와 NP의 평균 경우 경도를 연결하는 알려진 방법은 없습니다. 그러나 "가벼운"평균 케이스 경도를 "강한"평균 케이스 경도에 연결하는 방법이 있습니다. 내 논문은 둘 다의 출발점입니다. ccs.neu.edu/home/viola/papers/thesis.pdf

— Manu

답변:

1) 정확히 무엇을 의미했는지에 따라 Kaveh의 관찰 결과는 다음과 같이 강화 될 수 있습니다. $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ 에 $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ 본질적으로 Mahaney의 정리를 사용합니다. 즉, SAT를 해결하고 제 시간에 실행되는 알고리즘이있는 경우 $\leq p(n)$ 모든 길이의 인스턴스에서 $n$ 아마도 제외하고 $q(n)$ 그러한 경우 $p$ 과 $q$ 다항식입니다. 사실 $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ . 예를 들어 Meyer와 Paterson 및 그 안의 참고 문헌 또는 Schoning의 논문 "Complexity and Structure"를 참조하십시오 . 따라서 이것이 "하드 인스턴스"라는 개념을 포착하면 $poly(n)$ 각각에 대한 많은 하드 인스턴스 $n$ 가정 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ .

참고로, 이러한 알고리즘은 때때로 "거의 다항식 시간"에 대해 "apt"또는 "APT"알고리즘이라고합니다 (더 현대적인 복잡성 클래스와 혼동하지 않아야 함) $\mathsf{almostP}$ 같음 $\mathsf{BPP}$ ).

2) 상기와 같이 더욱 강화 될 수있다. 취하다 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ . 위의 내용은 SAT 및 다항식을 해결하는 알고리즘에 대해 $p$ 알고리즘이 다음보다 많은 수의 다항식 크기의 인스턴스 집합이 있음 $p(n)$ 시각. 그러나 세트는 알고리즘에 따라 달라질 수 있습니다.

더 강한 결과는 양자화기를 전환하고 결론을 내립니다. SAT를 해결하는 알고리즘 A와 다항식 p에 대해 A가 $p(n)$ 이러한 H를 복잡도 코어 라고합니다 (크기 가정은 복잡도 코어 정의의 일부가 아닙니다). 복잡성 코어의 정의와 존재는 Lynch 가 제공했습니다 . 방금 인용 한 결과는 Orponen과 Schoning에 의해 입증되었습니다 .

— 조슈아 그로 호프
소스

임 팔리 아 초의 유명한 "5 세계"논문은 아무도 언급하지 않았다.

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

— none
소스

이것은 첫 번째 의견에 의해 언급 되었습니까?

— András Salamon

-3

이 질문에 대한 또 다른 각도 (Mahaney의 정리에 대한 심판 외). SAT의 "전환점"은 어려운 인스턴스의 확률이 최대화되는 "임계점"을 중심으로 쉬운 vs 하드 인스턴스 분포 esp의 현상에 대한 연구입니다. 주제에 관한 문헌은 길고 복잡하다. 실증적 및 분석적 접근 방식이 있습니다. 물리 / 열역학과 깊은 관계가있다. [3] 불행히도 현재이 매우 중요하고 근본적인 복잡성 이론 주제에 대한 Wikipedia 항목이 없습니다. 또한이 주제에 대한 전체 또는 "표준"설문 조사가 많지 않은 것 같습니다. 다음은 SAT [1]과 TCS 위상 전이에 대해 일반적으로 시작하는 최근의 참고 문헌입니다. 귀하의 질문은 또한 "정말 좋은 답변은 기본적으로 거의 P $\stackrel{?}{=}$ NP 증거. "

주어진 인스턴스 크기 (n) 크기가 Poly (n) 이하인 Poly (n) (또는 심지어 일정한) 인스턴스 만있는 한, 하드 인스턴스 세트가 임의로 작아지는 것을 막는 것이 있습니까?

다시 Mahaney의 정리 (약간 다른 방식으로 표현됨)가 직접 대답합니다. 이를 살펴 보는 또 다른 방법은 일부 주요 / 특징적 방식으로 인스턴스 분포를 좁히려 고 시도하면 NP-complete 기능으로 이어진다는 것입니다. 모노톤 회로의 복잡성에 대한 예는 "슬라이스 기능"입니다. [2]

[1] 위상 전이에서의 만족도 예측 Lin Xu, Holger H. Hoos, Kevin Leyton-Brown

[2] Paul ES Dunne : 중앙 슬라이스 기능의 복잡성. 이론. 계산. 공상 과학 44 : 247-257 (1986)

[3] 무작위 만족도 문제의 분석 및 알고리즘 솔루션 M. Mezard, G. Parisi, R. Zecchina

[4] NP- 완전 문제에서의 위상 전이 : 무어의 확률, 조합 및 컴퓨터 과학 에 대한 도전

— vzn
소스