행렬 집합의 모든 곱이 결국 0인지 확인

19

정수 행렬 주어지면 는이 행렬의 모든 무한 곱이 결국 0 행렬과 같은지 결정합니다. $A_1,A_2, \ldots, A_k$

이것은 정확히 당신이 생각하는 것을 의미합니다 : 우리는 행렬 집합 에 무한 시퀀스 이 없으면 모든 제품이 결국 0과 같은 속성을 가지고 있다고 , 모두 ,되도록 모든 . $\{A_1, \ldots, A_k\}$ $i_1, i_2, i_3\ldots$ $\{1, \ldots, k\}$

A_{i_{1}} A_{i_{2}} \dots A_{i_{l}} \neq 0

$A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0$

l

$l$

모든 제품이 결국 0과 같은지 여부를 결정하는 문제가 이전에 연구 되었습니까? 결정할 수 있습니까?

결정적 인 매트릭스 사망률과 관련이있는 것처럼 보이지만 명확한 연결이 보이지는 않습니다.

linear-algebra decidability

— 로빈슨
소스

무한 곱이 정의되도록하려면 행렬 집합에 일종의 수렴 속성이 필요합니다.

— András Salamon

무한한 성장을하는 유한 필드 또는 정수로 작업하고 있습니까? = 1의 경우는 자신의 오른쪽 흥미 롭다. 5x5 행렬에서 -100에서 100 사이의 정수를 사용하면 0이 나오기 전에 얻을 수있는 가장 큰 힘은 무엇입니까?

k

$k$

— Chad Brewbaker

2

@ YuvalFilmus-나는 그것이 사망률과 다르다고 생각합니다. 행렬의 크기를 로 설정하면 숫자 만 있고 이라고 가정 합니다. 치명적인? 이므로 그렇습니다 . 모든 제품은 0입니까? 아니요 : 제품 아닙니다 . 반면에 이면 이며 모든 제품이 0 인 시퀀스가 있습니다.

1

$1$

A_{0} = 0, A_{1} = 1

$A_0 = 0, A_1=1$

A_{0} = 0

$A_0 = 0$

1 \cdot 1 \cdot 1 \dots

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots$

A_{0} = 0, A_{1} = 0

$A_0=0,A_1=0$

— Robinson

1

@ChadBrewbaker-행렬의 항목이 정수라고 생각했습니다. 의 관점에서 흥미로운 것으로 가정합니다 . 매트릭스가 전능하지 않다는 것을 확인하는 데 얼마나 많은 작업이 필요합니까? 가 전능 하지 않다면 임을 쉽게 알 수 있습니다. 여기서 은 의 차원 이므로 행렬 번 제곱하여 해결할 수 있습니다. 이것이 최선인지는 모르겠습니다.

k = 1

$k=1$

A

$A$

A^{n} = 0

$A^n = 0$

n

$n$

A

$A$

\log n

$\log n$

— Robinson

1

흥미롭게도 arxiv.org/abs/1306.0729에 있습니다. 모든 제품이 결국 제로인지 묻지 않고 일부 제품이 결국 양성인지 묻습니다. 그들은 문제가 NP-hard (적어도 내가 초록에서 수집 한 것)임을 보여줍니다.

— Joshua Grochow 2016 년

17

귀하의 질문은 가 nilpotent 대수를 생성 하는지 여부와 동일하며 ~~, 이는 차례로~~ ~~가 nilpotent~~ 입니다. 따라서 결정 가능할뿐만 아니라 시간에 는 행렬 곱셈의 지수입니다. $A_1, \dotsc, A_k$ ~~$A_i$~~ $\tilde O(n^{2 \omega})$ $\omega$

의해 생성 된 연관 대수라고 하자 . 즉, 와 모든 유한 곱 의 모든 선형 조합을 취하십시오 . 호출 nilpotent 일부가 있다면 의 모든 제품되도록 요소 제로이다. $\mathcal{A}$ $A_i$ $A_i$ $\mathcal{A}$ $N$ $N$ $\mathcal{A}$

먼저, 귀하의 조건이 이 전무 하다는 것을 암시하는 이유를 살펴 보겠습니다 . 이것은 Konig의 Lemma (compactness)에서 . 알파벳 넘는 길이 의 모든 문자열은 명백한 방식으로 길이 의 의 곱에 해당합니다 . 노드가 이상의 문자열과 자연스럽게 대응하는 무한 루트 루트 트리를 고려하십시오 . 의 해당 곱이 0이 아닌 노드로 구성된 하위 트리 고려하십시오 . Konig의 Lemma는 라면 $\mathcal{A}$ $n$ $\{1, \dotsc, k\}$ $A_1, \dotsc, A_k$ $n$ $k$ $\{1, \dotsc, k\}$ $T$ $A_i$ $T$ 무한대 인 경우 무한 경로를 가지므로 (정확하게 재산을 위반하는 경우) 는 유한합니다. 그런 다음 을 의 모든 문자열의 최대 길이로 사용할 수 있습니다 . 따라서 귀하의 재산은 이 전능하지 않다는 것을 암시합니다 . $T$ $N$ $T$ $\mathcal{A}$

의 모든 요소 는 의 곱의 선형 조합 이므로 그 반대도 마찬가지 입니다. $\mathcal{A}$ $A_i$

다음으로, 는 행렬 의 하위 대수 이므로 유한 차원입니다. $\mathcal{A}$ $n \times n$

마지막으로 : 특성 제로의 유한 차원 결합 대수는 nilpotent 요소의 기초가 (통근 여부를 -이 모순 Yuval 교수의 대답은 그 일부)가 nilpotent이 (참조 예입니다 IFF에 여기 ).

따라서 문제를 해결하려면 의해 생성 된 연관 대수에 대한 기초를 찾고 (첫 번째 탐색의 선형 대수 버전으로) 기초에있는 모든 행렬이 유효하지 않은지 확인하십시오. 상한 는 너비 우선 탐색 에서 변수 의 선형 방정식 시스템을 푸는 데 있습니다 . 마찬가지로 이들은이기 때문에 BFS하지 마지막 매우 긴 수 매트릭스 경우 체크 행렬 인 nilpotent 한 요구만을 확인하는 . $A_i$ $\tilde O(n^{2\omega})$ $n^2$ $\dim \mathcal{A} \leq n^2$ $n \times n$ $A$ $A^n = 0$

— 조슈아 그로 호프
소스

2

선택 원칙을 사용하지 않고 이것을 보여줄 수있는 방법이 있다고 생각하십니까 (König의 Lemma만큼 약한 것, 심지어 )?

{AC}_{ω}

$\text{AC}_\omega$

— András Salamon

2

@Andras : Chris Conidis에게 질문이라고합니다. 그는 (계산 가능한) 역 수학에서와 같은 질문을 공부했습니다. 그에게 물어보고 여기로하겠습니다.

— Joshua Grochow

1

@robinson : 1) 그렇습니다. 문제는 실제로 시간이며, 여기서 는 행렬 곱셈의 지수입니다. 이것은 선형 대수 너비 우선 탐색을 수행 할 때 대한 선형 방정식 시스템을 풀 때 발생합니다. 2) 예, 행렬을 (또는 또는 ) 로 벡터로 볼 때 일반적으로 사용되는 기본 개념입니다 .

O (n^{2 ω})

$O(n^{2\omega})$

ω

$\omega$

Q

$\mathbb{Q}$

Q^{n^{2}}

$\mathbb{Q}^{n^2}$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Joshua Grochow

1

당신은 기초부터 시작 의 . 이제 행렬 찾으려고 와 하도록 또는 의 범위에없는 . 성공하면 제품을 추가 하고 계속하십시오. 그렇지 않으면, 범위의 모든 행렬에 범위의 유한 곱으로 곱하면 항상 범위로 끝납니다 . 대수의 크기가 제한되어 있기 때문에 프로세스가 종료됩니다 (최대 단계).

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

A \in A

$A \in \mathcal{A}$

B \in B

$B \in \mathcal{B}$

A B

$AB$

B A

$BA$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

B

$\mathcal{B}$

A

$\mathcal{A}$

B

$\mathcal{B}$

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

1

@robinson : 아니요. 대수가 전능하지 않다면 대수의 모든 요소는 전무합니다. 따라서 전능성이 아닌 요소를 찾으면 대수는 전능하지 않습니다 (그리고 결코 0이 아닌 행렬의 무한 곱이 있습니다).

— Joshua Grochow

6

1995 년에 (사소한 문제가 아닌)이 문제에 대한 폴리-시간 알고리즘을 얻었습니다 .

알고리즘의 비하인드 스토리는 대략 다음과 같습니다. Blondel과 Tsitsiklis는 부울 매트릭스의 경우 JSR <1이 NP-HARD인지 여부를 잘못 설명했습니다. 정수 행렬 집합에 대해 JSR은 0보다 크거나 1입니다. 따라서 그들의 진술에 대한 반대의 예는 내 알고리즘이었습니다 (논문의 정오표 참조). 주요 도덕 : 먼저 Wikipedia에 문의하십시오!

— 레오 니드 구르 비스
소스

5

당신이 묻는 질문은 행렬 집합의 조인트 스펙트럼 반경 (JSR)이 정확히 1보다 작은지를 결정하는 것과 정확히 같습니다. 이 질문의 결정 가능성은 지금까지 꽤 오랫동안 열려있었습니다. (제어 이론에서 이는 임의의 스위칭에서 스위칭 선형 시스템의 안정성 결정 가능성과 동일합니다.)

다음과 같은 질문의 변형은 결정 불가능한 것으로 알려져 있습니다. 유한 정사각 행렬이 주어지면 모든 제품의 경계를 유지할지 결정하십시오. 여기를 참조하십시오 .

위의 결정 불가능 성은 47x47 크기의 행렬이 2 개인 경우에도 유효 합니다 . 여기를 참조하십시오 .

JSR 언어에서 "JSR ?" 테스트 문제 결정할 수 없지만 (위 참조 참조) 테스트의 결정 가능성은 "JSR ?"입니다. 열려 있습니다. 후자의 질문은 소위 "합리적 유한성 추측"과 관련 이 있습니다. 합리적인 유한성 추측이 맞다면, 묻는 질문은 결정 가능합니다. $\le 1$ $< 1$

마지막으로, P = NP가 아니라면 JSR은 다항식 시간 ( 이 백서에 정의 된 정확한 의미에서 )에 근접 할 수 없습니다.

결과적으로 효율적인 알고리즘을 주장하는 위의 답변 중 하나는 거짓이어야합니다.

긍정적 인면에는 JSR을 근사화하기위한 몇 가지 알고리즘 (예 : 반정의 프로그래밍 기반)이 있습니다. 알고리즘마다 성능 보증이 다릅니다. 예를 들면 다음을 참조하십시오 (-뿐만 아니라 참조를 참조 뻔뻔하게 자신과 내 동료 안에 ).

몇 가지 특별한 경우에, 당신이 묻는 질문은 다항식 시간을 결정할 수 있습니다. 예를 들어, 행렬이 대칭이거나 순위가 매겨진 경우 또는 출퇴근하는 경우입니다.

마지막으로, 주제에 관한 훌륭한 책은 다음과 같습니다 .

— 아미르 알리 아마디
소스

내가 묻는 질문의 공식 진술을 읽으십시오 .JSR이 엄격하게 하나 미만인지 여부를 결정 하는 것은 아닙니다 . 당신은 아마도 질문의 제목에 의해 잘못 인도되었을 것입니다. 간단히 말해서, 나는 모든 제품 이 점근 적 의미가 아닌 유한 한 시간에 0에 해당하는지 묻고 있습니다.

— robinson

2

그렇다면 당신이 묻는 질문은 훨씬 간단합니다. 다음은 동일합니다. (i) 정의한 조건 (ii) 모든 유한 제품은 전제 력이 없습니다. (iii) JSR = 0 (iv) 길이 n의 모든 제품은 0입니다 (n은 치수이며, 이는 행렬 k). 마지막 조건은 분명히 결정 가능성을 의미하며 실제로는 다항식 시간으로 조건을 확인할 수 있습니다. 내 게시물 끝에 링크 된 Jungers 저서 2.3.1 절을 참조하십시오. 당신이 점근 적 버전을 의미한다고 생각한 것에 대해 사과드립니다. ( "모든 제품은 결국 0과 같다"라는 문구로 오해되었습니다.)

— Amir Ali Ahmadi

어떤 경우에 @AmirAliAhmadi는 Joshua Grochow의 대답으로 다루지 않습니까?

— Suresh Venkat

2

내가 생각하는 것과 다른 알고리즘으로, 그것이하는 것처럼 보입니다. (다시 말해, 모든 제품이 제로로 수렴되는지 (즉, 결정 가능성이 열려있는 JSR <1?)라는 생각에 사과를 드려 죄송합니다.) Joshua의 대답과는 약간의 차이가 있습니다. (1) 이전 의견에서 (i)-(iv)와 동등하게 Konig의 Lemma를 사용해야한다고 생각하지 않습니다. (2) 왜 그가 행렬의 선형 조합을 취하는 지 이해하지 못합니다. (3) 나는 Jungers의 책 2.3.1에서 Leonid Gurvits에 기인 한 간단한 대안 알고리즘을 아래에 복사합니다.

— Amir Ali Ahmadi 2016 년

4

[위에서 계속 ...] 우리가 확인해야 할 것은 길이

의 모든 곱이 0 인지 여부 이지만

과 같은 행렬이 있습니다. 이를 피하려면 다음 행렬을 반복적으로 정의하십시오.

. 그런 다음

갖습니다 . 이 행렬은

으로 계산할 수 있습니다.

n

$n$

k^{n}

$k^n$

X_{0} = I, X_{j} = \sum_{i = 1}^{k} A_{i}^{T} X_{j - 1} A_{i}

$X_0=I,\ X_j=\sum_{i=1}^k A_i^TX_{j-1}A_i$

X_{n} = \sum_{A product of length n} A^{T} A

$X_n=\sum_{A\mbox{ product of length n}}A^TA$

k n

$kn$ 행렬 곱셈이며 길이

의 모든 곱이 0 인 경우에만 0입니다.

n

$n$

— Amir Ali Ahmadi 2016 년

0

편집 :이 답변은 불행히도 잘못되었습니다. 오류가 아래에 강조 표시되어 있습니다. 행렬을 전치 할 수 있으면 인수가 작동합니다.

우리는 명예를 증명하는 것으로 시작합니다.

렘마. 하자 될 행렬하자 될 보조 대각선에 사람과 매트릭스. 경우 및 모든 nilpotent이다 다음 . 올바른 결론 : 는 대각선에 0이있는 위 삼각형입니다. (우리가 의 전치의 힘을 곱할 수 있다면 원래의 결론은 회복됩니다 .) $A$ $n\times n$ $N$ $n\times n$ $AN^t$ $N^tA$ $t \geq 0$ $A = 0$ $A$ $N$

증명. 예를 들어 이라고 가정 하고 쓰십시오 $n = 3$ 우리는 를 계산 것으로 시작합니다: 이 행렬은 삼각형 형태이므로 가 전 분포이면 입니다. 계속:

ㅏ = (\begin{matrix} ㅏ & 비 & 씨 \\ 디 & 이자형 & 에프 \\ 지 & h & 나는 \end{matrix}), 엔 = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

ㅏ 엔^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & ㅏ \\ 0 & 0 & 디 \\ 0 & 0 & 지 \end{matrix}) .

$AN^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}.$

A N^{2}

$AN^2$

g = 0

$g = 0$

A N^{1}

$AN^1$

다시 행렬은 삼각형 형태이므로

이 전능하지 않으면

입니다. 계속해서,

이전과 같이

ㅏ 엔^{1} = (\begin{matrix} 0 & ㅏ & 비 \\ 0 & 디 & 이자형 \\ 0 & 지 & h \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & ㅏ & 비 \\ 0 & 디 & 이자형 \\ 0 & 0 & h \end{matrix}) .

$AN^1 = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix}.$

A N^{1}

$AN^1$

d = h = 0

$d = h = 0$

ㅏ 엔^{0} = (\begin{matrix} ㅏ & 비 & 씨 \\ 0 & 이자형 & 에프 \\ 0 & 0 & 나는 \end{matrix}) .

$AN^0 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}.$

이므로

는 대각선에 0이있는 위쪽 삼각형입니다.

a = e = i = 0

$a = e = i = 0$

A

$A$

우리가 이제 대신 고려한다면 는 대각선에 0이있는 더 낮은 삼각형 이라는 결론을 내립니다 . 사실, 우리는 를 고려하여 새로운 것을 얻지 못합니다 . 따라서 입니다. $N^2A,N^1A,N^0A$ $A$ $N^tA$ $A = 0$ $\square$

$A_1,\ldots,A_k$ $i_1,\ldots \in [k]$ $A_{i_1} \cdots A_{i_m} = 0$ $m$ $A_i$ $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ $A_1$ $V_1 \oplus \cdots \oplus V_t$ $V_i$ $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$ $\dim V_i > 1$ $0$ $V_i$ $A_1 = N$ $A_2 \neq 0$ $t \geq 0$ $A_2 A_1^t$ $A_1^t A_2$

요약하면, 속성 P는 모든 행렬이 유효하지 않으며 모든 것이 출퇴근하는 경우에 유지됩니다.

— 유발 필름 러스
소스

4

N^{2} A

$N^2 A$

g = 0

$g = 0$

N^{1} A

$N^1 A$

d = h = 0

$d = h = 0$

N^{0} A

$N^0 A$

a = e = i = 0

$a=e=i=0$

A

$A$

A

$A$

실제로이 답변은 정확하지 않습니다. 다른 사람이 없다면 오늘 나중에 집에 돌아올 때의 정리와 최종 주장에 대한 반례를 게시 할 것입니다.

— robinson

5

평소와 같이 무언가가 주장되었지만 증거가 실패했다는 것이 입증되지 않은 경우입니다. 잘 ..

— Yuval Filmus 22:41에

1

ㅏ_{0} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), ㅏ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$A_0 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$