안정적인 결혼 문제로의 확장?

이것은 TCS 질문보다 사회 과학 질문처럼 들릴 수도 있지만 그렇지 않습니다. 안정적인 결혼 문제를 설명하는 " 랜덤 화 알고리즘 "을 읽을 때 다음을 읽을 수 있습니다 (p54)

"모든 선호 목록을 선택할 때마다 적어도 하나의 안정된 결혼이 존재한다는 것을 알 수 있습니다. (다행스럽게도, 주민 수가 많은 동성애자 일부일처 사회에서는 그렇지 않습니다.)"

동성애 일부일처 사회 또는 인구의 특정 하위 집합이 더 큰 집합과 다른 규칙 집합을 따르는 사회를 포함하는 일정한 유형의 안정 상태를 허용하는 안정된 결혼 문제의 매우 간단한 확장이 있습니까?

긍정적으로, 그러한 매칭을 수행하는 알고리즘이 있습니까?

ds.algorithms graph-theory matching

— 이고르
소스

특히 유타에 사는 경우 재미있는 질문처럼 들립니다!

— Dave Clarke

문제는 약간 개방적입니다. 당연히 차단 쌍의 정의를 변경하거나 일치하는 기본 설정의 구조를 제한하면 안정적인 룸메이트 문제에 대한 해결책이 있음을 보장 할 수 있습니다 . 사소한 예로서, 최대 매칭이 "안정한"문제 공식을 생각 해낼 수 있으며, 그런 매칭을 찾기위한 간단한 탐욕스러운 알고리즘이 있습니다. 그러나 나는 이것이 당신이 듣고 싶은 것이라고 생각하지 않습니다. 좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까?

— Jukka Suomela

안정적인 결혼 문제와 그 친척에 관한 두 가지 훌륭한 책은 Alvin Roth와 Marilda Sotomayor의 양면 일치와 Dan Gusfield와 Robert W. Irving의 안정적인 결혼 문제입니다.

— Joseph Malkevitch

Knuth의 "안정적인 결혼과 다른 조합 문제와의 관계"도 권장됩니다. 스캔 한 프랑스어 버전의 프랑스어 버전은 다음 웹 사이트에서 찾을 수 있습니다. www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/ms.html

— Dai Le

답변:

3 가지 유형의 사람들에 관한 열린 추측이 있습니다. 남자가 여자에 대한 선호 목록을, 여자가 개에 대한 선호 목록을, 개가 남자에 대한 선호 목록을 갖도록 남자 여자와 개가 있다고 가정하십시오. 항상 안정적인 결혼이 있습니까?

(3 유형 사회에 대한 다른 선호 구조의 경우 답변은 부정적이라고 알려져 있습니다).

또 다른 의견은 안정적인 결혼은 비어 있지 않은 핵심을 나타내며, 스카프가 비어 있지 않은 핵심의 존재를 암시하는 잘 알려진 상태가 있다는 것입니다. 스카프 조건은 원래의 안정적인 결혼 문제와 주택 배분 문제에 대해 충족되는 것으로 알려져 있습니다. (하지만 남자 / 여자 / 개 문제에 실패했습니다).

일부 참고 문헌 :

스카프의 논문에 대한 언급 : HE 스카프, 인 게임 의 핵심 , Econometrica 35 (1967) 50--69. $N$
Scarf의 중요한 정리에 대한 다양한 응용을 보여주는 논문과 상당히 다른 것들을 인용 한 논문 : (특히, Aharoni와 Holzman의 자서전을위한 Gale-Shapley 정리의 분수 버전이 설명되어 있습니다) : R. Aharoni, T. Fleiner, 기본 정리 스카프, J. Combin. 이론 Ser. B 87 (2003), 72--80.
Eriksson et al (Math Soc Sci 2006)의 논문에 각 성별의 최대 4 개가있을 때 남성-여성-개 문제의 해결책이 제시되어있다.

— 길 칼라이
소스

@ 교수 Kalai : 안정적인 결혼을 위해 스카프의 비 핵심 상태에 대한 좋은 참고 자료를 말씀해 주시겠습니까?

— Dai Le

답에 추가 한 스카프의 원본 논문을보십시오.

— Gil Kalai

당신이 요구하는 것을 더 이상 "안정된 결혼 문제"라고 부릅니다. 반대로 "안정적인 룸메이트 문제"라고합니다. Wikipedia 에 따르면 :

수학, 특히 게임 이론 및 조합론 분야에서 안정적인 룸메이트 문제 (SRP)는 안정적인 일치를 찾는 문제입니다. 각 요소는 서로 다른 일치하는 세트에서 요소 쌍이없는 일치입니다. 쌍 중 하나는 다른 것을 선호합니다. 이것은 안정된 룸메이트 문제가 세트를 남성과 여성의 하위 집합으로 나눌 필요가 없다는 점에서 안정적인 결혼 문제와 다릅니다. 모든 사람이 같은 세트의 사람을 선호 할 수 있습니다.

일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.

SRP (Stable Roommates problem)의 경우, 각 2n 참가자는 엄격한 우선 순위에 따라 다른 참가자의 순위를 매 깁니다. 매칭은 일련의 분리 된 (순서가없는) 참가자 쌍입니다. SRP 인스턴스에서 일치하는 M은 두 명의 참가자 x와 y가없고 각각 M의 파트너에 대해 상대방을 선호하는 경우 안정적입니다. 이러한 쌍은 M을 차단하거나 미디엄.

Wikipedia가 귀하의 질문에 대한 답변을 설명합니다. 그것은 안정적인 경우를 항상 찾을 수는 없지만 Irving (1985)으로 인해 효율적인 알고리즘이 존재하며, 일치하는 것이 있으면 찾아 낼 것입니다.

편집하다:

SRP에는 몇 가지 자연스러운 휴식이있을 수 있습니다. "두 명의 참가자 x와 y가 없어야합니다. 각 참가자는 다른 파트너를 M의 파트너보다 선호합니다."

최소한 일부 사람들은 룸메이트에게 만족합니다. 여기서 만족도 는 다르게 해석 될 수있다. 예를 들어 :
- y가 x의 첫 번째 선택이면 쌍 (x, y)은 만족한다고 말하고 그 반대도 마찬가지입니다.
- x 또는 y 중 하나가 다른 첫 번째 선택 인 경우 쌍 (x, y)이 충족되었다고합니다.
- x가 y보다 z를 더 좋아하고 z가 w보다 x를 더 좋아하는 쌍 (z, w)이 존재하면 쌍 (x, y)은 만족스럽지 않다고합니다.
- ...
사람들의 최대 일부는 룸메이트에게 불만족합니다. (이 요구 사항은 만족도 해석에 따라 위와 다를 수 있습니다 .)

— MS 두티
소스

OP는 이미이 모든 것을 알고 있다고 생각합니다. 문제는 안정적인 규칙이 존재하도록 게임 규칙 을 변경 하는 방법이었습니다 .

— Jukka Suomela

또한 가장 간단한 반례에는 4 개의 정점이 포함되며, 그 중 3 개의 첫 번째 및 두 번째 기본 설정이 3주기를 정의합니다.

— 당 Vognsen

사람들은 일반적으로 문제의 변형을 의미하기 위해 "안정적인 매칭"이라는 용어를 사용하고, 문제의 이분법과 비이 혼식 버전을 연구하고 있다는 것을 강조하고 싶다면 "안정 결혼"과 "안정적인 룸메이트"라는 용어를 사용한다고 생각합니다. . 그러나 평소와 같이, 용어를 정의하는 것이 최선이며 용어가 표준화되었다고 가정하지 마십시오.

— Jukka Suomela

첫 번째 단락으로 인해이 답변을 찬성하는 것을 주저합니다.

— 이토 쓰요시

이토 츠요시 : 나는 누군가를 화나게하는 것을 의미하지 않았다. 두 번째 생각으로, 나는 첫 번째 단락을 모두 제거했습니다.

— MS Dousti

$n$ $m$

— 흠
소스

그러나 이것은 다시 두 부분으로 일치합니다 : 당신은 "사람"과 "집"이라는 두 가지 유형의 실체를 가지고 있습니다 (전통적인 안정된 결혼 문제에서 "남자"와 "여자"가있는 것처럼). 이 문제는 비이 혼자 일치에 관한 것으로 보입니다.

— Jukka Suomela

당신은 포인트가있을 수 있습니다. 나는이 문제가 "인구의 특정 부분 집합이 더 큰 집합과 다른 규칙 집합을 따르는 사회"를 다룰 수 있다고 생각했다.

— mhum

나는 그것이 동성애 하위 집단이있는 사회라고 생각했다. 질문에 대한 설명이 있는지 확인해 봅시다.

— Jukka Suomela

예, 저는 우리가 다른 규칙 세트로 행동하는 인구의 하위 집합이있는 사회를 의미했습니다.

— IgorCarron