다항식 시간에서 두 순열의 합을 식별 할 수 있습니까?

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이 있었다 두 질문 중 하나에 관련 또는 다음과 같은 질문에 특별한 경우에 해당했다 있었다 cs.se에 최근 질문 :

과 같이 숫자 이 있다고 가정합니다 되도록 두 개의 순열 및 의 으로 분해하십시오 . $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

몇 가지 필요한 조건이 있습니다. 가 으로 정렬되어 있으면 $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

그러나 이러한 조건으로는 충분하지 않습니다. 내가 물었던 이 math.se 질문에 대한 대답 에서 시퀀스 5,5,5,9,9,9는 두 순열의 합으로 분해 될 수 없습니다 (1 또는 5 모두가 4)와 페어링됩니다.

그래서 내 질문은 :이 문제의 복잡성은 무엇입니까?

— 피터 쇼어
소스

BTW, 간단한 변형이 떠 올랐고 그 복잡성에 대해 확신하지 못했습니다. 다항식 시간에서 두 순열의 고정 소수점 자유 합계를 식별 할 수 있습니까? (우리는 두 순열 각 위치에 동의 할 것을 요구 즉 모든 )

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— 모하마드 알 - Turkistany

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아니요, P = NP가 아니면 다항식 시간에서 두 순열의 합을 식별 할 수 없습니다. 문제의 결정 버전이 NP- 완전 문제 목표 합계와의 숫자 일치와 동일하므로 문제가 NP- 완료입니다 . $2$

입력 : 양의 정수 , , for $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

질문 : 거기 두 순열 및 등이 에 대한 ? $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

참고로, 엄밀하게 제한된 NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM)의 변형은 NP- 완전한 것으로 입증되었습니다.

RN3DM, 다중 집합 u_1,가 주어 정수와 정수 되도록 개의 순열이 존재 및 되도록 , ? $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ $j = 1, . . . , n$

RN3DM에서 대상 합계 문제 가있는 -Numerical Matching으로 쉽게 줄어 듭니다. RN3DM의 인스턴스가 주어집니다. 에 대해 를 만들어 해당 인스턴스를 구성합니다. $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen 및 JK Lenstra. 지연과 단위 시간 작업으로 2 대의 기계 공장에서 작업장을 최소화하는 것은 NP-hard 입니다. 스케줄링 저널, 7 : 333–348, 2004

10 월 1 일 수정 : 문제를 PERMUTATION SUMS라고합니다. 1998 년 이래로 Steve Hedetniemi의 COMBINATORIAL OPTIMIZATION의 OPEN PROBLEMS OF OPTIMIZATION에 등재되었습니다.

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

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답변 해주셔서 감사합니다. cs.se 에서이 문제에 영감을 준 문제 중 하나 에 답했습니다 (이것은 귀하의 참조로 직접 대답하지 않은 형식). 그러나 대답이 주어지면 두 번째 질문에 대답 할 첫 번째 기회가 있어야한다고 생각합니다 당신의 참고로.

— 피터 쇼어

피터 고마워. 도와 드릴 수있어서 다행입니다. 나는 당신이 더 나은 답변을 얻을 것이라고 생각합니다. 계속해서 그 질문에 대답하십시오.

— Mohammad Al-Turkistany

위의 웹 페이지에 나타난 문제 설명은 다음과 같습니다. PERMUTATION SUMS [Cheston, 198X] INSTANCE : 양의 정수로 구성된 배열 A [1..n]. 질문 : 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i]에 대해 양의 정수 {1,2, ..., n}의 두 개의 순열 r과 s가 있습니까? ?

— Mohammad Al-Turkistany

4

반면 Marshall Hall 은 두 순열 의 차이 를 쉽게 식별 할 수 있음 을 보여주었습니다 .

— 익명의 무스
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마샬 홀 정리뿐만 아니라 합계에 적용, 그러나 차이 합계는 모두 모듈을 계산해야하는 그 결과를 적용 할 수. 이상 에서는 합계와 차이가 NP- 완료입니다.

n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

— 피터 쇼어

3

@PeterShor 완벽을 기하기 위해 두 순열의 차이를 식별하는 NP- 완전성의 증거 스케치를 제공하여 의견을 별도의 답변으로 게시하십시오.

— Mohammad Al-Turkistany

3

완전성을 위해 : 두 개의 순열 및 가 있다고 가정 합니다. 그런 다음 도 순열입니다. 이제 가 다중 집합 인 경우 는 다중 집합 입니다. 예를 들어 는 가 합이 아니기 때문에 두 순열의 차이로 표현할 수 없습니다 두 순열의

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$

— 피터 쇼어