O (k)에서 배열에서 가장 작은 k 요소 찾기

이것은 웹에서 찾은 흥미로운 질문입니다. n 개의 숫자를 포함하는 배열이 주어지면 (그들에 대한 정보가 없음), 우리는 숫자 1 <= k가 주어지면 O (k) 시간에 가장 작은 k 개의 요소를 반환 할 수 있도록 선형 시간으로 배열을 사전 처리해야합니다 <= n

나는이 문제를 몇몇 친구들과 논의했지만 아무도 해결책을 찾지 못했다. 도움을 주시면 감사하겠습니다!

빠른 참고 사항 :-k 가장 작은 요소의 순서는 중요하지 않습니다-배열의 요소는 숫자, 정수 일 수 있으며 기수 정렬이 아닐 수 있습니다-숫자 k는 전처리 단계에서 알 수 없습니다. 전처리는 O (n) 시간이다. O (k) 시간에 함수 (k 가장 작은 요소를 찾습니다).

시간 O ( n ) 에서 값 의 배열을 전처리하십시오 .$n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• 반면 $i>2$
  • 시간 O ( i ) 에서 A [ 1 .. i ] 의 중앙값 을 계산합니다 $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • 파티션 [ 1 .. I ] 로 [ 1 .. I / 2 - 1 ] ≤ m 및 [ I / 2 + 1 ... I ] ≥ m 동시에있다.$A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

총 사전 실행 시간 내에 $O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

시간 O ( k ) 에서 A 의 가장 작은 요소에 대한 쿼리에 응답하십시오 .$k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• 선택 번째 원소 X 의 [ 2 패 . .2 l + 1 ] 시간 O ( 2 l ) ⊆ O ( k $(k-2^l)$$x$$A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• 파티션 에 의해 X 동일한 시간$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

포함 K 작은 소자.$A[1..k]$$k$

참고 문헌 :

• 1999 년 Dor와 Zwick 은 2.942 n + o ( n ) 비교 내에서 시간 에 요소 의 중앙값을 계산 하는 알고리즘을 제공하여 6 n 미만의 비교 에서 n 개의 정렬되지 않은 요소에서 k 번째 요소 를 선택하는 알고리즘을 생성했습니다 .$n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

$n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$$k$$O(2^t) = O(k)$

$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

$O(n)$$O(k)$$k$

Frederickson, Greg N. , Min-heap , Inf. 에서 선택하기위한 최적의 알고리즘 계산. 104, No. 2, 197-214 (1993). ZBL0818.68065 ..

$k$$k$