모서리가 n 개 이상인 삼각형이없고 별이없는 원형 그래프가 있습니까?

연구에 대한 속성이있는 그래프를 찾으려고하지만 불행히도 그러한 그래프를 찾을 수 없습니다.

그 그래프가 있는지 아는 사람이 있거나 존재하는 것이 왜 불가능합니까?

가정 $G$삼각형이없는 별 모양이없는 원 그래프입니다. 나는 그것을 보여줄 것이다$G$ 2보다 큰 정점을 포함하지 않습니다. $G$ 기껏해야 $n$ 가장자리.

원 표현을 고려하십시오 $C$ 의 $G$. 두 코드가 교차하지 않지만 모든 코드를 가로 지르는 선이있는 경우 코드 세트는 평행 입니다.

속성 1 :$C$ 3 개의 평행 코드가 없습니다.

증거 . 가정$C$3 개의 평행 코드가 있습니다. 정점을 정돈$v$중간 화음에 해당합니다. 그때,$N[v]$컷셋입니다. 이것은 재산을 증명합니다.

모순을 위해 $G$ 꼭짓점이있다 $v$ 그리고 최소한 3도 정도입니다. $v$3 개의 다른 화음과 교차합니다. 이 3 개의 화음이 한 줄과 교차하기 때문에 평행하거나 2 개가 교차합니다. 속성 1로 인해 두 개가 교차하므로 정점이 다음과 같이 삼각형을 형성합니다.$v$모순되는 $G$ 삼각형이없는 것.

아니요, 그러한 그래프가 없습니다. 왜 그렇지 않은지 알아보기 위해 삼각형이없는 코드 세트로 정의 된 원 그래프가 있다고 가정합니다. 허락하다$n$ 원 그래프의 꼭짓점 수 (또는 코드 수) $m$그래프의 가장자리 수 (두 화음의 교차점). 그런 다음 화음 수를 쉽게 유도하면 화음 배열이 정확히$m+n+1$얼굴. 그러나 기껏해야$2n$ 원에 닿는면 (일부 얼굴이 두 번 이상 원에 닿으면 더 적음) $m>n$그런 다음 배치의 내부면이 두 개 이상 있어야합니다. 허락하다$p$하나의 얼굴에서 다른 얼굴로 의 배열의 이중 그래프 ( 사각 그래프)에서 가장 짧은 경로이어야합니다.$c$ 가장자리에 이중 인 화음 $p$. 그런 다음 별 컷셋은$c$ 한쪽 끝에서 얼굴을 묶는 화음의 일부를 분리합니다. $p$ 다른 끝에서 얼굴을 묶는 화음 중 일부에서.