유한 한 VC 차원에서 Hitting Set의 매개 변수화 된 복잡성

나는 d-Dimensional Hitting Set 문제라고 부르는 것의 매개 변수화 된 복잡성에 관심이 있습니다. 범위 공간 (예 : 세트 시스템 / 하이퍼 그래프) S = (X, R) 최대 d 및 a 양의 정수 k, X는 R의 모든 범위를 치는 k의 부분 집합을 포함합니까? 문제의 매개 변수화 된 버전은 k로 매개 변수화됩니다.

d- 치수 타격 세트 문제는 d의 값에 대해

• FPT에서?
• W [1]에서?
• W [1]-단단한가?
• W [2]-단단한가?

내가 아는 것은 다음과 같이 요약 할 수 있습니다.

• 1- 치수 타격 세트는 P에 있으므로 FPT에 있습니다. S의 차원이 1이면 크기 2의 타격 세트가 있거나 S의 발생 매트릭스가 완전히 균형을 이루고 있음을 나타내는 것은 어렵지 않습니다. 두 경우 모두 다항식 시간으로 설정된 최소 타격을 찾을 수 있습니다.

• 4 차원 치기 세트는 W [1]-단단합니다. Dom, Fellows 및 Rosamond [PDF] 는 축 평행선이있는 R ^ 2에서 축 평행 사각형을 찌르는 문제로 W [1] 경도를 입증했습니다. 이것은 VC 차원 4의 범위 공간에서 Hitting Set으로 공식화 될 수 있습니다.

• d에 제한이 없으면 W [2]-완료 및 NP- 완전의 표준 Hitting Set 문제가 있습니다.

• Langerman 과 Morin [citeseer link] 은 제한된 차원의 Set Cover에 대한 FPT 알고리즘을 제공하지만, 제한된 차원 모델은 제한된 VC 차원으로 정의 된 모델과 동일하지 않습니다. 모델의 프로토 타입 문제는 점으로 하이퍼 플레인을 때리는 것과 동일하지만 모델에는 예를 들어 점으로 반 공간을 칠하는 문제가 포함되어 있지 않습니다.

이 문제가 너무 어렵다고 생각합니다. 우리는이 가정에서 훨씬 쉬운 문제에 대한 답을 모릅니다. 예를 들어, 평면의 n 지점 세트와 (n) 단위 디스크 세트가 주어지면, 단위 디스크의 k 단위로 점의 표지가 있는지 판별하십시오. 이것에 대한 쉬운 n ^ O (k) 시간 알고리즘이 있으며, 알려진 통찰력을 사용하여 n ^ O (sqrt {k})를 수행 할 수 있다고해도 놀라지 않을 것입니다. k) * n ^ {O (1)}은 개방되어 있으며 실제로는 매우 흥미로울 것입니다. (1 + eps) 근사값은 Mustafa and Ray의 작업 http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367 에서 따릅니다 .

BTW, 단위 디스크가 허용되는 연속 버전의 경우 n ^ {O (k)} 시간 내에 문제를 해결할 수 있습니다. 이 경우 PTAS는 쉬프트 그리드를 사용하면 매우 쉽습니다.

우리는이 질문을 다음과 같은 새로운 양식으로 해결합니다 : http://arxiv.org/abs/1512.00481

저 VC 치수의 자서전 (Karl Bringmann, László Kozma, Shay Moran, NS Narayanaswamy)에서 치기.

VC- 치수가 2와 같을 때 Hitting Set이 이미 W [1] -hard 인 것으로 판명되었습니다.

Dániel Marx 논문 : 기하학적 문제에 대한 효율적인 근사법 ?. ESA 2005 : 448-459는 매우 관련이 있습니다.