되어 보다 약한 팬 아웃 바운드와 ?

D. Bera, F. Green 및 S. Homer (2007 년 6 월 vol. 38, 2 번)의 "Small Depth Quantum Circuits" 설문 조사 에서 나는 다음 문장을 읽었다.

의 고전 버전 ( 및 게이트가 최대로 일정한 팬 아웃을 가짐)은 보다 약 합니다. $QAC^0$ $AND$ $OR$ $AC^0$

이 소유권 주장에 대한 참조가 없습니다. 이 클래스를 클래스라고 부릅니다 . 여기서 는 "바운드 팬 아웃"을 나타냅니다. (복잡성 동물원이 다운되었고 그러한 클래스가 이미 문헌에서 이름을 가지고 있는지 확인할 수 없습니다). 입력 비트에 대해 무한 팬 아웃을 가정하면 이러한 회로는 크기의 다항식 증가까지 일정한 깊이 공식과 같은 것으로 보이므로 위의 주장은 의미가 없습니다. 대신 입력 비트에 대한 경계 팬 아웃을 가정하면이 클래스를 과 구분하는 언어를 생각할 수 없습니다 . 가능한 후보는 언어 , 즉 , 하나의 1.와 문자열의 언어가 쇼에 쉽게 $AC^0_{bf}$ $bf$ $AC^0$ $X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$ $X \in AC^{0}$ 이지만 임을 증명할 수 없었습니다 . $X \notin AC^{0}_{bf}$

질문은 :

가 실제로 더 약한 ? 그렇다면 그것을 증명하는 방법에 대한 아이디어 나 참조가 있습니까? 그리고이 두 클래스를 분리하는 언어는 무엇입니까? 무엇에 대한 ? $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $X$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— 알레산드로 코센 티노
소스

입력 비트의 경계 팬 아웃은 회로를 선형 크기로 만듭니다. 모든 슈퍼 선형 크기를 필요로 기능이 구분됩니다.

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh

@Kaveh : 아마도 슈퍼 선형 크기의 회로 를 필요로하는 명시 적 함수 와 크기 하한을 나타내는 참조가 있는 예를 사용하여 답을 다시 게시 할 수 있습니까? (또는 매우 간단한 경우 답에 답을 포함 시키시겠습니까?)

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari

@Kaveh 감사합니다. 과 선형 크기 상수 깊이 회로 (명확하게 ) 사이의 분리 는 알려져 있지 않았습니다. 참조는 S. Chaudhuri와 J. Radhakrishnan의 "회로 복잡성의 결정적 제한"입니다. @Kaveh 당신은 당신의 코멘트를 대답으로 할 수 있습니까?

A C^{0}

$AC^0$

L C^{0}

$LC^0$

— Alessandro Cosentino

후속 질문에 논의 된 바와 같이 cstheory.stackexchange.com/questions/7447/... , 선형 수식 크기와 동일하다.

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— domotorp

입력 비트 및 게이트의 팬 아웃에 대한 경계는 회로의 크기를 선형으로 만듭니다. 하자 A는 팬 아웃 및 게이트 입력에 결합 될. 길이가 최대 경로와 의해 제한되는 최대 각도를 가진 DAG입니다 . 각 레벨에서 사용 가능한 와이어 수는 배 증가 할 수 있으며 상단에서 사용 가능한 와이어 수는 이므로 회로의 총 와이어 수는 최대 은 입니다. $k$ $k$ $d$ $k$ $kn$ $kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$ $O(n)$

수퍼 선형 크기를 요구하는 모든 함수는 범위가 제한된 팬 아웃 (입력 비트에도 적용)이있는 함수 클래스를 합니다. 여기 몇 가지 예가 있어요. $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

[CR96] : 수퍼 선형 크기가 필요한 함수는 근사 선택기 입니다. -approximate 선택기 값이 임의의 함수이다 : $\mathsf{AC^0}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$
- $0$ 초 수가 이 할 때마다 , $1$ $\frac{n}{4}$
- $1$ 의 수가 최대 일 때마다 , $0$ $\frac{n}{4}$
- 그렇지 않으면 또는 수 있습니다 . $0$ $1$
[Ros08]은 -clique에 함수의 복잡도 ( 입력 비트는 개의 정점 이있는 그래프의 가장자리 일 수 있음 ). 이것은 대한 슈퍼 라인 크기 하한을 제공합니다 . $k$ $\mathsf{AC^0}$ $n^{\Theta(k)}$ $n^2$ $n$ $k\gt 2$
주어진 비 순차적 구조에서 임의의 (사소한 비트보다 많은) 고정 된 유도 된 하부 구조의 존재에 대해 2 캔의 예를 일반화하는 것이 가능할 것이다.
- 주어진 그래프에서 길이 2의 경로 존재
- $\#_1(x)=2$ ,
에서 불가능한 비트에 따라 매우 일정한 수의 게이트가 필요하기 때문 입니다. $\mathsf{AC^0_{bf}}$
가장 쉬운 예는 복사기 게이트, 즉 입력 비트의 복사본 을 만드는 게이트입니다 . 게이트의 만 각 입력 비트에 의존 할 수 있으므로 에서는 불가능합니다 . $\omega(1)$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $O(1)$

또한 크기의 모든 회로는 최대 크기의 공식으로 변환 될 수 있으므로 크기의 공식을 갖습니다. 따라서 superlinear 수식의 복잡한 함수는 . $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $S$ $k^dS$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$ $k^{2d+1}n$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^0_{bf}}$

참고 문헌 :

[CR96] S. Chaudhuri와 J. Radhakrishnan, " 회로 복잡성에 대한 결정적 제한 ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " k-Clique의 지속적인 깊이 복잡성 ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " 부울 함수 복잡성 : 고급 및 프론티어 ", 초안

— 카베
소스

과 사이의 최근 분리는 Benjamin Rossman으로 인한 이 결과 에서 따릅니다 . 그는 모든 상수 (일부 성장하는 )와 상수 , 꼭짓점 그래프 에서 크릭에 대한 모든 깊이 회로의 크기는 이어야합니다 . 이것은 크기 (다른 ) 의 회로에 의해 허용되는 언어의 계층 구조 가 실제로 무한 하다는 것을 의미합니다 .

L C^{0}

$LC^0$

A C^{0}

$AC^0$

k

$k$

k

$k$

d

$d$

d

$d$

k

$k$

n

$n$

Ω (n^{k / 4})

$\Omega(n^{k/4})$

A C^{0}

$AC^0$

n^{k}

$n^k$

k

$k$

— Srikanth

Alessandro, domotorp, Robin, Srikanth 및 Stasys 덕분에 답을 업데이트했습니다.

— Kaveh

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

A C^{0}

$AC^0$

2^{k} n^{O (1)}

$2^kn^{O(1)}$

@Kaveh : 죄송합니다. 참조를 제공해야합니다. 당신이 지적한 종이는 경로와 다른 하위 그래프를 빨리 찾기위한 컬러 코딩 방법을 시작했습니다. 이 논문 에서 아마노 는 알고리즘이 으로 구현 될 수 있다는 것을 처음으로 지적했다 .

A C^{0}

$AC^0$

— Srikanth