차이 시퀀스와 순열의 존재에 대한 효율적인 알고리즘?

이 질문은이 게시물에 의해 동기 부여됩니다 . 다항식 시간에서 두 순열의 합을 식별 할 수 있습니까? , 순열의 계산 속성에 관심이 있습니다.

차등이 시퀀스 순열의 숫자 순열의 모든 인접한 두 숫자 사이의 차이에 의해 형성된다 찾는 . 즉, 대 $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\pi$ $1, 2, \ldots n+1$ $\pi$ $a_i= |\pi(i+1)-\pi(i)|$ $1 \le i \le n$

예를 들어, 시퀀스 은 순열의 차이 시퀀스 입니다. 시퀀스 및 는 숫자 순열의 차이 시퀀스가 아닙니다 . $1, 1, 3$ $2 3 4 1$ $2, 2, 3$ $3, 1, 2$ $1, 2, 3, 4$

주어진 시퀀스가 일부 순열 의 차이 시퀀스 인지 아니면 NP-hard 인지를 결정하는 효율적인 알고리즘이 있습니까? $\pi$

편집 : 순환 순열을 사용하여 문제를 공식화하면 계산적으로 동등한 문제가 발생합니다.

EDIT2 : Cross가 MathOverflow에 게시되었습니다. 차이 시퀀스에서 순열을 얼마나 어렵게 재구성합니까?

EDIT3 증거 스케치에 현상금을 수여했으며 완전한 공식 증거를 얻은 후 답변을 수락합니다.

편집 4 : MARZIO의 좋은 -completeness 증거가 발표 된 조합론의 전자 저널 . $NP$

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

a_{i}

$a_i$

[1.. n]

$[1..n]$

n + 1

$n+1$

@MarzioDeBiasi 그것은 순열 문제에 대한 나의 열정을 공유한다고 생각합니다. 나는 가장 간단한 계산적으로 흥미로운 순열 문제를 생각해

— Mohammad Al-Turkistany

:-) ... 나는 내 의견이 우아한 나무 라벨링 문제 에 헛된 시간에서 직접 온다고 말하고 싶습니다 ... 그러나 나는 당신의 문제에 대한 NP- 완전 축소 가능성에 대한 희미한 생각을했습니다. 공식화에 성공하면 답변을 게시합니다.

— Marzio De Biasi

K = 2 N

$K=2N$

1...2 N

$1...2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a−1}−i_{2a}=A_i$

N P

$NP$

이것은 NP-hard임을 증명하기 위해 가능한 축소의 스케치입니다.

$a_i$ $...11111...$

$2$ $1112112111$

 a_i seq.:     1 1 1  2  1 1  2   1  1  1  forces
 permutation: 1 2 3 4 _ 6 7 8 _ 10 11 12 13 (or its decreasing equivalent)
 (from 4 you cannot go back to 2,
 from 8 you cannot go back to 6)

나머지 순열에 구멍을 채워야 합니다 .

3) 충분히 큰 1SEQ를 사용하고 약간의 구멍이있는 1SEQ를 사용하고 또 다른 큰 1SEQ를 사용하여 강제 회선을 작성할 수 있습니다 .

4) 많은 강제 선을 결합하면 노드가 기본 강제 순열의 누락 된 숫자에 해당 하는 순열 그리드 그래프 를 작성할 수 있습니다 .

예를 들어 시퀀스 1111111112111111111112111111111은 다음 5x7 순열 그리드 그래프를 강제합니다.

29 30 31 32 33 34 35
22 23 24    26 27 28
15 16 17 18 19 20 21
 8  9 10    12 13 14   
 1  2  3  4  5  6  7

$w \times w$ $a,b$ $|a-b|=kw$

$G$

$G$ $G$

7) 원래 그리드 그래프에 해밀턴 사이클이있는 경우에만 모든 구멍을 채울 수 있습니다 (예 : 순열을 완료).

편집 : 2013 년 7 월 27 일

나는 문제의 NP 완전성을 공식적으로 증명하려고 노력했다 : 나는 NPC 인 새로운 문제 ( Crazy Frog problem )를 소개했다 . 차이로 인한 순열 재구성 문제는 "차단 된 셀이없는 1 차원 미친 개구리 문제"(NPC이기도 함)와 동일합니다.

축소에 대한 자세한 내용은 cstheory "2 Hamiltonian 경로 변형"에 대한 내 질문 / 답변을 참조 하거나 "개구리가 순열을 만날 때"증거 초안을 다운로드하십시오. :))

— 마르 치오 데 비아시
소스

니스, 이것이 솔루션으로 이어질 것이라고 확신합니다. 선택 가젯은 확실히 실현 가능합니다.

— domotorp

@domotorp : 게시했습니다 (다음 날에 선택 / 동기화 부품 세부 정보를 게시합니다). 아마도 그것은 내가 볼 수없는 오류가 포함되어 있지만 , 전체 감소가 크게 단순화 될 수 있다고 $ 1을 걸었습니다 :-)

— Marzio De Biasi

@MarzioDeBiasi 멋진 시각화. 당신이 올바른 길을 가고있는 것 같습니다. 문제에 상당한 관심이 있기 때문에 MathOverflow에 대한 답변을 게시 해 주시겠습니까?

— Mohammad Al-Turkistany

@MarzioDeBiasi 현상금이 만료되기 전에 최종 답변 (공식)을 게시 할 수 있습니까?

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany : 방금 여행을 마치고 다음 날에 가젯을 공식화 (CSP로 확인)하려고합니다.

— Marzio De Biasi