복잡도 하한을 결정하는 고급 기술

여러분 중 일부는 이 질문을 따르고 있었을 것인데, 이는 연구 수준이 아니기 때문에 폐쇄되었습니다. 그래서 나는 연구 수준에있는 질문의 일부를 추출하고 있습니다.

정렬 감소 또는 EXPTIME 완료 문제와 같은 "간단한"기술 외에도 문제의 시간 복잡성에 대한 하한을 증명하기 위해 어떤 기술이 사용 되었습니까?

특히:

• 지난 10 년간 개발 된 "최첨단"기술은 무엇입니까?
• 추상 대수, 범주 이론 또는 일반적으로 "순수한"수학의 다른 가지 기술을 적용 할 수 있습니까? (예를 들어, 나는 이것이 의미하는 바에 대한 실제 설명없이 정렬의 "대수 구조"에 대한 언급을 종종 듣는다.)
• 하한 복잡성에 대한 중요하지만 덜 알려진 결과는 무엇입니까?

대수 회로의 하한

회로 크기의 하한이 시간의 하한과 유사한 대수 회로의 설정에서 많은 결과가 알려져 있지만 더 현대적인 결과에는 몇 가지 핵심 기술 만 있습니다. 나는 당신이 시간 하한을 요구한다는 것을 알고 있지만, 많은 경우 대수적 하한이 언젠가 부울 / 튜닝 기계 하한으로 이어질 것이라는 희망이 있습니다. 이 결과는 종종 "순수한 수학"의 더 깊은 기술을 사용합니다.

I. 학위가 제한되어 있습니다.

Strassen은 (함수) 함수와 관련된 특정 대수 종류의 로그가 해당 함수를 계산하는 대수 회로 크기의 하한값임을 보여주었습니다.

II. 연결된 구성 요소 (또는 일반적으로 상위 상동 그룹의 차원)

Ben-Or은 (반대 수) 집합의 멤버 자격을 결정하는 실제 대수 의사 결정 트리의 크기가 최소한 여기서 C 는 해당 집합의 연결된 구성 요소 수라고 나타냅니다. Ben-Or은 이것을 실제 대수적 의사 결정 트리 모델에서 정렬에 대한 Ω ( n log n ) 하한 을 증명하기 위해 사용했습니다 . Yao는이를 연결된 구성 요소에서 Betti 수의 합으로 확장하고 다른 문제 (예 : k- 같음)에 대한 최적의 하한을 입증했습니다 . 다른 논문에서 야오는 이것을 정수에 대한 대수적 결정 트리로 확장했다.$\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$

III. 부분 파생 상품.

이것은 많은 현대 대수 회로 하한의 핵심이었습니다. 나는 Baur-Strassen의 하한을 증명하기 위해 부분 파생물이 처음으로 사용되었다고 생각합니다. 여기서 모든 첫 번째 부분을 계산하는 것은 크기 5 s 에서 수행 될 수 있으며 여기서 s 는 f 를 계산하는 데 필요한 크기 입니다. Strassen의도 경계와 결합하여 다양한 함수에서 Ω ( n log n ) 크기의 하한을 얻었 으며, 이는 명시 적 기능을 위해 제한되지 않은 산술 회로의 크기에서 가장 강한 하한입니다.$f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

부분 파생 상품의 최근 사용은 모든 부분 파생 상품의 공간 크기를 고려하여 비 정류 회로에 대한 경계가 낮은 Nisan의 논문에서 비롯된 것으로 보입니다. 이것은 Nisan-Wigderson에 의해 제한된 종류의 깊이 3 회로에 대한 하한을 증명하는 데 사용되었으며 유사한 아이디어는 Raz에 의한 다중 선형 공식 크기에 대한 하한을 증명하는 데 사용되었습니다 (Raz 및 공동 작업자의 관련 모델). Gupta, Kayal, Kamath 및 Saptharishi에 의한 가장 최근의 깊이 4 및 깊이 3 하한은이 아이디어의 일반화를 사용하여 "이동 된 부분 도함수"의 공간 크기를 계산합니다. 주어진 학위의 모든 소액. )는 영속적 인 미성년자에 의해 발생 된 이상을 더 잘 이해하기위한 문제 일 수있다 (논문 끝의 추측 참조).$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$

IV. 품종에 대한 방정식 정의.

여기서의 아이디어는 특정 대수 품종을 "쉬운 함수"와 연관시키고이 다양성에서 사라지는 방정식을 찾고 이러한 방정식이 "하드 함수"에서 사라지지 않음을 보여주는 것입니다. (따라서 어려운 함수가 다양한 쉬운 함수가 아니기 때문에 실제로 어렵다는 것을 증명합니다.) 특히 행렬 곱셈의 하한에 유용합니다. 최신 정보는 arXiv의 Landsberg--Ottaviani 및 이전 하한값을 참조하십시오.

(실제로 위의 I, II 및 III은 모두 특정 품종에 대한 정의 방정식을 찾는 특별한 경우로 볼 수 있지만, 실제로는 I, II, III을 사용하는 증거는 절대 그런 식으로 표현되지는 않습니다. 필요하다.)

V. 표현 이론, 특히 기하학적 복잡성 이론에서와 같이.

$\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

Kaveh는 그의 대답에서 내가 뭔가 말해야한다고 부드럽게 제안했습니다. 나는이 포괄적 인 답변 목록에 기여할 다른 많은 것을 가지고 있지 않습니다. 지난 10 년 동안 "구조적 복잡성"하한이 어떻게 진화했는지에 대한 몇 가지 일반적인 단어를 추가 할 수 있습니다. (대수, 의사 소통 복잡성 등을 구별하기 위해 단순히 "구조적 복잡성"이라는 이름을 사용합니다.)

현재의 접근법은 여전히 ​​대각 화, 특히 다음과 같은 기본 패러다임을 기반으로 합니다. 하한의 반대를 가정하여 시작합니다. 이것은 당신에게 어떤 문제에 대한 좋은 알고리즘을 제공합니다. 이 알고리즘을 사용하여 시간 계층 구조 또는 공간 계층 구조와 같은 대각선 화를 기반으로하는 일부 계층 구조 정리와 모순되도록하십시오. 대각선 화 인수만으로는 새로운 하한을 증명하기에 충분하지 않기 때문에, 모순 된 레시피를 얻기 위해 다른 성분이 믹스에 추가됩니다.

70 년대와 80 년대의 많은 주장들도 위의 패턴을 따른다고 말할 수 있습니다. 요즘 가장 큰 차이점은 "기타 성분"입니다. 선택할 수있는 성분 이 많으며 성분을 적용 할 수있는 방법은 자신의 창의성에 의해서만 제한되는 것 같습니다. 당신은 더 좋은 조리법을 얻기 위해 특정 재료를 혼합하는 방법을 알고하지 않습니다,하지만 당신은 아주 잘 그들이 방법을 이해하면 때때로, 수 혼합, 당신을 위해 새로운 요리법을 제안하는 컴퓨터 프로그램까지 코드에 도움이됩니다.

$NEXP \not\subset ACC$

기술은 모델과 하한을 구하려는 리소스 유형에 따라 다릅니다. 문제의 복잡성에 대한 하한을 증명하기 위해서는 먼저 수학적 계산 모델을 수정해야합니다. 문제 상태에 대한 하한은 어느 정도의 자원을 사용하는 알고리즘으로도 문제를 해결할 수 없다는 것입니다. 즉, 우리는 보편적으로 정량화하고 있습니다 알고리즘에. 정량화 영역에 대한 수학적 정의가 필요합니다. (이는 일반적으로 불가능한 결과에 해당됩니다.) 따라서 하한 결과는 특정 계산 모델에만 적용됩니다. 예를 들어,$\Omega(n \log n)$정렬에 대한 하한은이 제한없이 비교 기반 정렬 알고리즘에 대해서만 작동하며보다 일반적인 계산 모델에서는 선형 시간보다 더 빠른 정렬을 해결할 수 있습니다. (아래의 Josh 의견 참조)

다음은 일반적인 계산 모델 (기계 및 회로)에 대한 계산 복잡도 이론의 하한을 입증하는 몇 가지 기본 직접 방법입니다.

I. 계산 :

아이디어 : 알고리즘보다 더 많은 기능이 있음을 보여줍니다.

예 : 지수 적으로 큰 회로가 필요한 기능이 있습니다.

이 방법의 문제점은 그것이 존재 론적 주장이며 어려운 것으로 입증 된 문제의 복잡성에 대한 명시적인 기능이나 상한선을 제공하지 않는다는 것입니다.

II. 조합 / 대수 :

아이디어 : 우리는 회로를 분석하고 그것들이 특정한 속성을 가지고 있음을 보여줍니다. 예를 들어, 그것들에 의해 계산 된 함수는 멋진 수학 객체 클래스에 의해 근사 될 수 있지만, 목표 함수에는 그 속성이 없습니다.

예 : Håstad의 스위칭 보조 정리 및 그 변형은 결정 트리를 사용하여 을 근사하고 , Razborov-Smolensky는 필드를 통해 다항식을 사용하여 함수 등 을 근사합니다 . A C 0 [ p $\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

이 방법의 문제는 실제로 작고 비교적 분석하기 쉬운 클래스에서만 작동한다는 것입니다. Razborov-Rudich의 Natural Proofs 장벽 은 또한 단순한 특성 자체가 더 일반적인 회로 하한을 증명하기에 충분하지 않은 이유를 공식화합니다.

Razborov의 논문 " 근사법에 관한 "은 근사법이 어떤 의미에서 하한을 증명하기 위해 완벽하다고 주장합니다.

III. 대각선 화 :

생각. 우리는 더 작은 클래스의 기능에 대해 대각선으로 기울입니다. 아이디어는 Gödel (및 Cantor)로 돌아갑니다.

전의. 시간 계층 정리 , 공간 계층 정리 등

이 방법의 주된 문제는 상한선을 얻기 위해 더 작은 클래스를위한 범용 시뮬레이터가 필요하고 좋은 사소한 시뮬레이터를 찾기가 어렵다는 것입니다. 예를 들어, 를 에서 분리하려면 안에 대한 시뮬레이터가 있어야합니다. 이러한 시뮬레이터가있는 경우 착하게 굴 어라. 따라서 우리는 보통 더 많은 리소스를 사용하여 더 작은 클래스를 보편적으로 시뮬레이션 할 수있는 동일한 유형의 리소스로 클래스를 분리합니다.P S p a c e P P S p a c $\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

우리는 또한 특정 유형의 대각 화 주장이 결과가 틀린 다른 환경으로 옮겨 갈 것이라고 언급 한 상대성 장벽 (베이커, 길, 솔로 바로 돌아가는)과 대수 장벽 (아 론슨과 위더슨)을 가지고있다.

이러한 장벽은보다 일반적인 대각 화 주장에는 적용되지 않습니다. 실제로, Dexter Kozen의 논문 " subrecursive classes의 색인화 "에 의해 하한을 증명하기 위해 대각선 화가 완료되었습니다.

알다시피 복잡한 클래스에 적합한 범용 시뮬레이터를 찾는 것과 복잡한 클래스를 더 큰 클래스에서 분리하는 것 사이에는 강력한 관계가 있습니다 (공식적인 설명은 Kozen의 논문 참조).

최근 작품

최근의 발전에 대해서는 Ryan Williams의 최근 논문을 확인하십시오 . Ryan 자신이 답변을 작성하기를 바랍니다.

대수 결정 트리

이것은 최근의 기술이 아니라 특정 문제에 대해 매우 강력한 기술입니다.

$n$$d$

• $v$$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• $-1$$0$$+1$

• $\{1,2,\dots,n\}$

$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

$\Omega(n^d)$

$\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$$\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$$(dt)^{O(n)}$

$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

$n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

$\Omega(n\log n)$

$R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

$n^{O(n)}$$n\log n$

$\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$다항식 쿼리; 이 건설 시간은 하한 모델에서 무료입니다.

이중 부정적 결과를위한 Hooray!

Manindra Agrawal은 "Psuedorandom Generators를 통해 하한 경계 증명"이라는 훌륭한 논문을 보유하고 있습니다. 하한선을 증명하기 위해 달리기에서 "암마"로 간주 될 수 있지만 논문은 흥미 롭습니다.

이것은 회로 하한 각도에 중점을 둔 대상에 방금 나타난 32p 설문 조사입니다 (여기에서 다른 답변과 내용에 강한 겹침이 있음).

• Oliveira의 알고리즘 및 회로 하한

"C에 대한 회로 클래스 C 항복 회로 하한에 대한 중요하지 않은 알고리즘"형태의 몇 가지 전이 이론을 입증하기 위해 다른 기술이 사용되었다. 이 설문 조사에서 우리는 이러한 많은 결과를 다시 검토합니다. 우리는 무작위 화, 압축, 학습 및 만족도 알고리즘에서 회로 하한을 얻는 방법에 대해 논의합니다. 우리는 또한 회로 하한과 유용한 속성 사이의 연결을 다루고 있는데, 이러한 전이 정리의 맥락에서 기본으로 나타나는 개념입니다. 그 과정에서 몇 가지 새로운 결과를 얻고 여러 가지 증명을 단순화하며 다른 프레임 워크와 관련된 연결을 보여줍니다. 우리는 프레젠테이션이이 분야에 대한 연구에 관심이있는 사람들을위한 독립적 인 소개가되기를 희망합니다.