쉬운 결정 문제, 어려운 검색 문제

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내쉬 균형의 존재 여부를 결정하는 것은 쉽다 (항상 그러하다). 그러나 실제로 하나를 찾는 것은 어렵다고 생각됩니다 (PPAD- 완전).

의사 결정 버전은 쉽지만 검색 버전은 비교적 어려운 (결정 버전과 비교) 문제의 다른 예는 무엇입니까?

의사 결정 버전이 중요하지 않은 문제에 특히 관심이 있습니다 (내쉬 평형의 경우와 달리).

cc.complexity-theory big-list

— 트래비스 서비스
소스

아마도 커뮤니티 위키 여야합니다

— Dave Clarke

2

@ supercooldave :이 경우 CW로 서두르지 않을 것입니다. 사소하지만 쉬운 의사 결정 버전 및 하드 검색 버전에는 자연적인 문제 가 거의 없음이 밝혀 질 수 있습니다 . 반드시 "큰 목록"인 것은 아닙니다.

— Jukka Suomela

1

나는 휴리스틱이라는 큰 목록 = 커뮤니티 위키와 함께 갔다.

— Dave Clarke

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따라서 이것은 "검색 문제와 관련된 자연적인 결정 문제는 무엇입니까?"라는 질문을 제기합니다. NE의 존재는 NE와 관련된 자연스러운 결정 문제가 아니라고 생각합니다.

— Kaveh

1

@Kaveh : Nash에 대한 결정 문제를 정의 할 수 있지만 (Nash에 솔루션 인코딩을 지정하는 경우) Nash와 동일한 복잡성인지 여부 또는 공식적으로 결정 문제가 Nash로 환원 가능한지 여부 . 추가적인 제약을 만족시키는 내쉬 평형을 찾는 것이 종종 NP-hard이기 때문에 나는 그것을 의심한다.

— Tsuyoshi Ito

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정수가 주어지면 사소한 요소가 있습니까? -> 사소하게 P.

정수가 주어지면 FP에없는 것으로 알려진 것이 있으면 사소하지 않은 요인을 찾으십시오.

— 슬림 톤
소스

아니면 물어볼 수 있습니다, 그것이 주요한 요소가 있습니까? 그렇다면 PRIMES는 P 용지 에 필요하지 않습니다

— Bjørn Kjos-Hanssen

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또 다른 예는 다음과 같습니다. 입방 형 그래프 G와 G에서 하밀 토니안주기 H가 주어지면 G에서 다른 하밀 토니안주기를 찾으십시오. 이러한주기는 존재하지만 (Smith 's 정리에 의해), 아는 한, 그것이 가능한지 여부는 열려 있습니다 다항식 시간으로 계산됩니다.

— 마렉 크로 보크
소스

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Nash 평형에 대해하는 것과 동일한 "여정"을 다음과 같이 제공하면 :

결정 문제가 "이 정수의 인수 화 된 표현이 있습니까?"인 정수 인수 분해 (사실상 예) 검색 문제는 그것을 출력하는 것입니다.

결정 문제를 정의하기위한 동일한 유형의 관대 한 수당과 함께 여러 격자 문제가 여기에 적합 할 수 있습니다.

가장 짧은 벡터 문제 (SVP)-가장 짧은 벡터가 있는지 확인합니다.
가장 가까운 벡터 문제 (CVP)-가장 가까운 벡터가 있는지 확인

물론, 이것은 내가 언급 한 의사 결정 버전이 그리 흥미롭지 않은 모든 경우입니다 (사소한 경우이기 때문에). 사소하지 않은 한 가지 문제 :

평면 그래프 색상 $k$ $k \ge 4$

평면 그래프 -4- 착색성의 결정 문제는 P.에이지만 전적으로 제 이러한 용액을 수득하는 단계 (NP-어렵다 Khuller / Vazirani ).

당신이 정말로 관심을 갖고있는 재산은 자기-환원성 (또는 자기-비 환원성)입니다. 평면 그래프 착색 문제에서, 본질적인 문제는 색 성의 일반적인 경우를 자체 감소시키는 방법이 그래프의 평면성을 파괴한다는 것이다. $k$

— 다니엘 에이 폰
소스

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하자 에 임의의 그래프 , 여기서 각 에지 확률로 독립적으로 존재하는 . 선택 의 정점 균일 랜덤 및 그 사이의 모든 에지를 추가; 결과 그래프 호출하십시오 . 이어서 사이즈 도당 갖는 . $G=G(n,1/2)$ $1,\ldots,n$ $1/2$ $n^{1/3}$ $G$ $H$ $H$ $n^{1/3}$

검색 문제 : 크기가 이상인 도둑을 찾으십시오 . $10\log n$

— 사용자 1624
소스

매우 깔끔합니다! 이것에 관한 관련 논문이 있습니까?

— András Salamon

1

@ András : 조금 더 배경을주기 위해 이것을 "숨겨진 도난 문제"라고합니다. 심어진 숨겨진 도둑이 Omega (sqrt (n log n)) 꼭짓점에 있으면, 그 도당 점의 정점이 거의 확실하게 가장 높은 점임을 쉽게 알 수 있습니다. [Alon-Krivelevic-Sudakov] ( tau.ac.il/~nogaa/PDFS/clique3.pdf )는 스펙트럼 기술을 사용하여 이것을 오메가 (sqrt (n))로 개선합니다. O (log n)와 같이 더 작은 크기의 숨겨진 도관의 경우, 사소한 것은 없습니다.

— arnab

Karp에 의해 제기 된 또 다른 관련 흥미로운 문제는 상수 0 <c <1에 대해 G (n, 1 / 2)에서 크기 (1 + c) log (n)의 크릭을 찾는 것입니다. 거의 확실하게 G (n, 1 / 2)에 크기 2log (n)의 도가 존재하는 것으로 알려져 있습니다. (욕심 많은 것과 같은) 알려진 다항식 시간 알고리즘은 크기 (1 + o (1)) log (n)의 파벌을 찾습니다.

— arnab

10 \log n

$10\log n$

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$a_1,a_2,a_3,...,,a_n$ $\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$ $I, J$ ${1,2,..., n}$ $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ $I$ $J$

부분 집합 합계 (비둘기 버전)

— Mohammad Al-Turkistany
소스

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$n$ $n$ $2n$ $n$ $n$ )이지만 무조건 다항식 시간 결정 알고리즘은 알려져 있지 않습니다. 관련 작업은 최근 Polymath4 프로젝트 에서 수행되었습니다 . 프로젝트에 대한 Tao의 블로그 게시물 은 이에 대한 좋은 요약입니다.

— 아르나 브
소스

1

Bertrand의 가정이 없더라도 소수 법칙과 AKS 원시성 테스트로 인해 다항식 런타임이 예상되는 결정적 알고리즘이 있습니다.

— Joe Fitzsimons

@JoeFitzsimons, "다항식 런타임이 예상되는 결정적 알고리즘"의 의미가 무엇인지 잘 모르겠습니다.

— 찬드라 체 쿠리

@ChandraChekuri, "결정 론적"은 아마도 항상 정답을 얻는다는 의미 일 것입니다.

— usul

@ChandraChekuri : 죄송합니다. 제가 선택한 문구가 잘못되었습니다. 나는 당신이 단순히 한계 오차가 아닌 예상 다항식 시간에 절대 확실성을 가진 소수를 찾을 수 있음을 의미했습니다. 적어도 그게 내가 의미하는 바라고 생각합니다. 3 년 전이었습니다.

— Joe Fitzsimons 2013 년

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주제를 약간 벗어난 위험에 대해, 이론 C 답변 의 간단하고 자연스러운 예를 들자 : Eulerian주기와 분산 알고리즘.

결정 문제는 Eulerian 및 Non-Eulerian 그래프가 모두 있다는 점에서 완전히 사소한 것은 아닙니다 .

그러나 의사 결정 문제를 해결하는 빠르고 간단한 분산 알고리즘이 있습니다 (예 : 모든 노드가 "1"을 출력하고 비 인스턴스에 대해 하나 이상의 노드가 "0"을 출력한다는 의미에서) : 각 노드는 단지 점검합니다 자체 학위의 패리티 및 그에 따라 0 또는 1을 출력합니다.

$\Omega(n)$ $O(n)$

$O(1)$ $\Theta(n)$

편집 : 이것은 내재적으로 그래프가 연결되어 있다고 가정합니다 (또는 동등하게 연결된 각 구성 요소에서 Eulerian주기를 찾고자 함).

— 개정
소스

이것은 분산 된 컴퓨팅에 대해 거의 아무것도 알지 못하기 때문에 어리석은 질문 일 수 있지만 그래프가 연결되어 있거나 분 산성을 통해 효율적으로 연결을 확인하기 쉽다는 약속이 있습니까?

— Tsuyoshi Ito

고마워요, 멍청한 질문은 아닙니다. 나는 내 대답을 명확히했으며, 우리가 연결된 그래프를 다루는 가정을 추가하는 것을 잊어 버렸습니다. (일반적으로 연결된 구성 요소간에 정보를 전송할 수있는 방법이 없기 때문에 분산 알고리즘의 관점에서 연결이 끊어진 그래프를 연구하는 데는 별다른 의미가 없지만 물론 명시해야합니다.)

— Jukka Suomela

감사! 귀하의 답변을 읽은 후에 그래프 (= 네트워크 토폴로지)가 연결된 것으로 가정 한 것이 분명하다고 생각합니다. :)

— Tsuyoshi Ito

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Tverberg 파티션을 찾는 것은 복잡하지 않습니다.

$x_1,x_2,\dots, x_m$ $R^d$ $m \ge (r-1)(d+1)+1$ $S_1,S_2,\dots, S_r$ ${1,2,\dots,m}$ $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

Nash equilibria와 마찬가지로 파티션은 정리에 의해 보장되지만 polytime 알고리즘이 존재하는지 여부는 알 수 없습니다.

Gil Kalai는이 주제에 관한 일련의 훌륭한 글을 썼습니다 : 하나 , 둘 , 셋 .

— 수레 쉬 벤 카트
소스

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실제로, TFNP에 속하는 모든 문제는 내가 생각하는 좋은 후보가 될 것입니다. 정리에 의해 답이 보장되는 경우, 가능한 해결책에 대해 P보다 찾기 어려운 문제를 정의하십시오.

— Daniel Apon

7

위의 모든 예에서 결정 문제는 P에 있고 검색 문제는 P에있는 것으로 알려지지 않았지만 NP-hard 인 것으로 알려지지 않았습니다. 의사 결정 버전이 쉬운 NP 하드 검색 문제가 발생할 수 있음을 지적하고 싶습니다.

$R_1,\ldots,R_k$ $\{0,1\}$

R_{i_{1}} (t_{11}, \dots, t_{1 r_{1}}) \land \dots \land R_{i_{m}} (t_{m 1}, \dots, t_{m r_{m}})

$R_{i_1}(t_{11},\ldots,t_{1r_1}) \wedge \cdots \wedge R_{i_m}(t_{m1},\ldots,t_{mr_m})$

t_{i j}

$t_{ij}$

0, 1

${0,1}$

r_{1}, \dots, r_{m}

$r_1,\ldots,r_m$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\ldots,R_k$

$R_1,\ldots,R_k$ $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ $k = 1$ ). 만족도 문제가 다항식 시간에 해결 될 수 있다면, 사 전적으로 최소 만족도 할당이 존재하는지에 대한 질문은 사소한 것입니다.

추론 (13)와 예 (적어도 위의 논문에서 다음을 참조하십시오 이 온라인 버전).

— 슬림 톤
소스

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$k$ $k$
검색 버전은 NP- hard : 5 개의 정점으로 유도 된 경로없이 그래프의 색도 수를 찾습니다. 이 논문 으로 인해 .

— Peng O
소스

당신은 아마도 고정 $k$

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$e$ $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ $e$

$e$ $(g, h, g^a, h^b)$ $a = b$ $e (g, h^b) = e (h, g^a)$

이러한 그룹은 또한 "갭 그룹"으로 일반화된다.

— 암호
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2

Planar Perfect Matching이이 목록에서 빠진 것 같습니다.

$\mathsf{NC}$
$\mathsf{NC}$

— 사미
소스

2

복잡성을 조금이라도 알아 봅시다.

VAS (벡터 추가 시스템)에 대한 많은 의사 결정 문제는 EXPSPACE- 완료되었지만 훨씬 더 많은 증인이 필요할 수 있습니다. 예를 들어, VAS의 언어가 규칙적인지 결정하는 것은 EXPSPACE-complete (예 : Blockelet & Schmitz, 2011 )이지만 가장 작은 유한 상태 오토 마톤은 Ackermannian 크기 일 수 있습니다 ( Valk & Vidal-Naquet, 1981 ). 이 큰 격차에 대한 설명은 비정규 성에 대한 증인이 훨씬 적다는 것입니다 .

— 실뱅
소스