0-1 프로그래밍을위한 정확한 지수 시간 알고리즘

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순진 알고리즘을 능가하는 다음 문제에 대한 알려진 알고리즘이 있습니까?

입력 : A 시스템 의 선형 불평등. $Ax \le b$ $m$

출력 : 실행 가능한 솔루션 경우). $x^*\in \{0,1 \}^n$

와 에 정수 항목이 있다고 가정하십시오 . 최악의 상황에 관심이 있습니다. $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

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경우 superlinear이며, 이러한 알고리즘은 논리 곱 표준형의 공식 0-1 프로그래밍의 특별한 경우와 Sparsification 보조 정리 때문에 우리가 줄일 수 있습니다 강한 지수 시간 가설을 반증하는 것 선형 많은 조항에 CNF-SAT에 -sat을 . $m$ $k$

그러나 Impagliazzo, Paturi 및 나 자신 때문에 와이어 수, 즉 의 0이 아닌 계수의 수가 선형 인 경우 이러한 불평등 시스템을 해결할 수 있는 알고리즘 이 있습니다 . 특히, 와이어 수가 인 경우 알고리즘은 시간 에서 실행됩니다. 여기서 $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ . $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— 스테판 슈나이더
소스

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경우 정도로 작은이, 당신은, 즉, 순진 알고리즘보다 더 나은 것보다 할 수있는 시간. 여기서 "충분히 작다"는 이 과 같은 것보다 작다는 것을 의미합니다 . 실행 시간은 여전히 기하 급수적이지만 (예 : 시간 일 수 있음) 순진 알고리즘보다 빠릅니다. $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

또한, 이것이 행렬 가 초 선형 수의 엔트리를 갖는 일부 경우에 대해 시간 보다 빠르게 문제를 해결할 수있게하는 것으로 보인다 . 나는 여기에 제공된 다른 대답으로 그것을 제곱하는 방법을 모른다. 결과적으로, 당신은 나의 대답을주의 깊게 점검해야합니다. $2^n$ $A$

기본적인 방법 : 라이트 , 제 보유 의 성분 및 마지막 보유 구성 요소; 마찬가지로 , 왼쪽 갖는 의 열 및 오른쪽 $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ 열. 이제 형식으로 다시 쓸 수 있습니다 $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

또는 동등하게

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

대한 가능성을 모두 열거 하고 가 가능한 값 세트를 나타냅니다. 즉, $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

이제 문제는

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
소스

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내 답변의 알고리즘은 동일한 방법을 사용하여 답변에 설명 된 벡터 문제로 축소합니다. 즉 변수를 분할하고 모든 할당을 나열합니다.

— Stefan Schneider

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2^{O (m)}

$2^{O(m)}$