볼륨 추정을위한 동기 부여

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무작위 보행 방법에 관한 최신 논문에서 고려 된 종류의 볼록 다면체의 양을 추정하기위한 구체적이고 강력한 응용 분야는 무엇입니까?

볼륨 추정에 관한이 논문은 수치 적 통합을 하나의 동기로 언급합니다. 사람들이 실제로 계산하고자하는 적분의 예는 무엇입니까? 이전 방법으로는 계산하기가 매우 어렵습니다. 아니면 1000 차원 폴리 토프의 부피를 계산하기위한 다른 실용적인 응용 프로그램이 있습니까?

cg.comp-geom na.numerical-analysis markov-chains

physics.stackexchange.com에서 원하는 유형의 응답을 더 많이 얻을 수 있을지 궁금합니다. 또한이 이론의 특정 하위 영역에 익숙하지 않은 사람들을 위해 "임의의 도보 방법에 관한 최신 논문"?

— Joshua Grochow

대답하고 둘러 본 후에 더 많은 생각을하십시오. 일부 논문은 폴리 토프의 부피를 계산하는 것이 복잡성 이론의 근본적인 문제와 같은 것이라고 지적하거나 지시하는 것처럼 보입니다. 결정론을 계산하는 것이 복잡성 이론의 또 다른 주요 문제이고 결정자가 평행 사변형의 부피라는 점을 고려할 때 이것은 놀라운 일이 아닙니다. 따라서 하나의 합리적인 대답은 복잡성 이론에 깊거나 자연스럽게 연결되어있는 것 같습니다. 이것에 대한 더 많은 증거는 특정 복잡성 클래스와 관련이있을 것입니다 .... 이것에 대해 더 많이 파헤칠 수 있습니다 ....

— vzn

복잡한 polytope의 양을 찾는 알고리즘 인 mathoverflow도 참조하십시오 . 예, 위의이 질문은 알고리즘이 아닌 응용 프로그램을 요구하지만 일부 알고리즘 논문은 동기 부여 / 응용 프로그램을 제공합니다.

— vzn

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볼록형 폴리 토프의 부피와 그로부터 샘플링과 밀접하게 관련된 작업을 추정하면 개인 데이터 릴리스에 응용 프로그램이 있습니다.

대략, 당신이 해결하고자하는 문제는 : 데이터베이스에 숫자 값 쿼리가 수집되면, 실제 답변과 가능한 한 가까운 질문에 대한 답변을 제공하면서 차등 개인 정보를 만족시키는 것입니다. 일부 범위의 매개 변수에서이 문제를 해결하기위한 최적의 알고리즘에는 기하학적 설명이 있으며이를 구현하려면 볼록한 폴리 토프에서 샘플링해야합니다. 여기를 참조하십시오 : http://arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

— 아론 로스
소스

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$s$ $s$

컴퓨터 보안에서, 정량적 정보 흐름에 대한 작업은 이러한 방법을 적용하여 특정 프로그램에 의해 유출 될 수있는 기밀 정보의 양을 추정했습니다. 여기서 우리는 프로그램 실행의 특정 시점에서 가능한 상태를 나타내는 다면체를 구축 한 다음 가능한 상태 수에 대해 무언가를 추정하려고합니다 (이 정보는 공개 된 정보의 양과 관련이 있습니다). 따라서 분석의 특정 지점에서 다면체 내부에 포함 된 정수의 수를 세려고합니다. 이것은 볼륨 추정과 관련이 있습니다 (나에게).

다음은 대표적인 초기 논문입니다.

정보 유출의 자동 발견 및 정량화 . Michael Backes, Boris Kopf, Andrey Rybalchenko. IEEE 보안 및 개인 정보 보호 2009.

즉, 이것은 당신이 찾고있는 것이 아닐 수도 있습니다. 다면체의 부피와 같지 않은 다면체 내부의 정수 포인트 수를 계산하는 방법이 필요합니다. 또한 치수가 1000 이상인 다면체를 분석 할 필요는 없다고 생각합니다 (확실하지는 않지만).

— DW
소스

감사합니다. 선형 불평등의 집합에 정수 솔루션의 수를 찾는 문제는 내가 (생각 # P-완료 math.ucdavis.edu/~deloera/RECENT_WORK/semesterberichte.pdf이 너무 좀 더 많은 응용 프로그램이 있습니다). 볼륨 추정은 폴리 시간으로 수행 할 수 있습니다. 후자를 사용하여 전자를 근사화 할 수는 있지만 실제로 볼륨 추정의 직접적인 구체적인 응용 프로그램을 찾고 있습니다.

폴리 토프의 부피를 계산하는 것도 # P-hard입니다. 이 사실 자체는 근사치에 대해서는 거의 말하지 않습니다.

— Sasho Nikolov

P \neq B P P

$P\neq BPP$

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@Turbo 분명히이 두 클래스는 오라클 모델이 아니기 때문에 P가 BPP와 같지 않다는 것을 증명하지는 않습니다. 불평등으로 표현되는 폴리 토프의 부피를 결정적으로 근사하는 것은 개방적이라고 생각합니다.

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov이 겉보기 간단한 문제를 알고 있다면 멋진 mathoverflow.net/questions/336369/… 일 것 입니다.

— T ....

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Hari Narayanan은 최근 arXiv 에 논문을 올렸는데,이 논문에서 볼록 폴리 토프의 부피를 추정하여 Littlewood-Richardson (LR) 계수에 대한 특정 결과를 입증했습니다. LR 계수는 기하학적 복잡성 이론, 입자 물리학 및 기타 여러 분야에 적용되는 표현 이론의 특정 정수입니다 (자세한 내용은 위의 논문 소개 참조). 다시 말하지만, 아마도 정확히 원하는 것이 아니라 흥미로운 연결입니다.

— 조슈아 그로 호프
소스

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예 : 경제 예측, 공급망 관리에 대한 사례 / 사례 연구에 대한 Sharma, Prasanna, Aswal의 알고리즘 및 응용 : 볼록 바디의 N- 차원 부피 추정 : 참조 .

우리의 방법은 제약 영역에서 강력한 최적화 프레임 워크에서 정보 내용과 불확실성을 정량화하는 데 사용될 수 있습니다. 향후 불확실한 상황에서 공급망 관리에 응용 프로그램을 보여줍니다.

기본적으로 아이디어는 폴리 토프가 공급망 관리 구성의 매개 변수에 대한 "미래 시나리오"를 모델링 할 수 있다는 것입니다. 모델 / 추정에서 의 불확실성 (또는 "오류")은 폴리 토프의 부피에 비례하는 것으로 간주됩니다. 슬라이드 3,4를 참조하십시오. 그러면 다음이 가능합니다.

불확실성의 정량적 추정
동등한 정보 생성
가정 분석에 도움

— vzn
소스

감사합니다. 이 예제는 훌륭하지만 사람들이 고차원 볼록 바디의 부피를 추정하는 것이 Markov Chain Monte Carlo 방법의 가장 중요한 응용 프로그램 중 하나라고 말할 때 의미가 있다고 생각하기가 어렵습니다.

슬라이드의 예는 치수의 수만큼 "장난감 크기"이지만 동의 할 수 있지만 실제로 일부 공급망 관리 문제에는 큰 치수가있을 수 있습니다. 또한이 연구 라인은 데이터 마이닝의 일부 형태로 적용 할 수 있다고 제안합니다.

— vzn

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$B_n$ $n$

Francisco Escolano, Edwin R. Hancock, Miguel A. Lozano의 Birkhoff 폴리 토프, 열 커널 및 그래프 복잡성

— vzn
소스