ACC 크리 큐트의 Beigel-Tarui 변환

Arora 및 Barak의 Computational Complexity 책 에서 NEXP의 ACC 하한에 대한 부록을 읽고 있습니다. http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf 핵심 정리 중 하나는 회로에서 다항식 차수 및 준 다항식 계수를 갖는 정수에 대한 다중 선 다항식으로 변환하는 것입니다. 동등하게, 회로 클래스 . 이것은 폴리 폴리 알릭스 팬인 (polylogarithmic fan-in)과 함께 최하위에 준 폴리 노 미적으로 많은 AND 게이트가 있고 깊이 레벨의 대칭 게이트 인 깊이 2 회로의 클래스입니다. S Y M $ACC^{0}$$SYM^{+}$

교재의 부록에서이 변환에는 게이트 세트가 OR, mod , mod 3 및 상수 1 로 구성되어 있다고 가정하면 세 단계가 있습니다. 첫 번째 단계는 OR 게이트의 팬인을 다항식 차수로 줄이는 것입니다.3 $2$$3$$1$

용감한-Vazirani 격리 보조 정리를 사용하여, 연구자들은 그 위에 OR 게이트 주어진 구하는 형태의 입력 , 우리의 경우를 픽업 으로부터 독립적 페어 해시 함수로 에 다음 아닌 모든 들면 , 확률에 적어도 는 것을 유지한다 . O의 R은 ( X 1 , . . . , X 2 K ) H [ 2 K ] { 0 , 1 } , X ∈ { 0 , 1 } (2) K (1) / ( 10 K ) Σ I : H ( I ) = 1 x 나는 mod $2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

의 확률이 1/2 이상 입니까? 1 / 10k 는 약한 하한 인 것 같습니다 .1 / 2 1 / 10 $\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

두 번째 단계는 산술 게이트로 이동하여 곱셈을 내리는 것입니다. 이 단계에서는 주어진 이진 입력 문자열이있는 부울 회로를 정수 입력이있는 산술 회로로 변환합니다.

여기서 그들은 $OR(x_{1},...,x_{k})$ 가 $1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$ 및 MOD_ {p} (x_ {1}으로 대체되었습니다. , ..., x_ {k})$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ 는 Fermat의 Little Theorem을 사용하여 (\ Sigma_ {i = 1, ..., k} x_ {i}) ^ {p-1} 로 바뀝니다 $(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$.

이 대체품이 왜 동등한 $SYM^{+}$ 회로를 제공합니까?

의 확률은 1/2 이상입니까? 는 약한 하한 인 것 같습니다 .$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

실제로 대답은 '아니요'입니다. (이것은 그 것 확률 적어도 보유 우리가 작업 한 경우, - 바이어스 해시 가족, 실제로 사용 -biased 해시 함수는 건축의 매개 변수를 향상시킬 수있는 방법을 제공합니다. 그러나 페어의 독립성이 필요는 없다 -biased.)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

여기에 하나의 추가 단계가 누락 된 것 같습니다. Valiant-Vazirani를 직접 적용하려면 해시 함수의 범위를 임의로 선택해야합니다. 임의의 페어 단위 독립 를 선택하는 대신 임의의 을 선택한 다음 무작위를 선택해야합니다 페어 독립적 . (여기서는 354 페이지에있는 Arora-Barak의 Valiant-Vazirani 선언문을 일부러 사용하고 있습니다. ) 를 의 수라고 합시다 . 용감한-Vazirani은 선택한 경우라고 말한다 등이 것으로, 다음 확률을ℓ ∈ { 2 , … , k + 1 } h : [ 2 k ] → { 0 , 1 } ℓ s x i = 1 ℓ 2 ℓ − 2 ≤ s ≤ 2 ℓ − 1 Σ i : h ( i ) $h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$ (정수 이상)은 이상 입니다.$1/8$

그래서 임의 들기 랜덤 페어 독립적 픽업 , 다음 적어도 확률이 이 입니다. 회로에서 의 무작위 선택을 시뮬레이션하려면 가능한 모든 대해 을 취하면됩니다 (그 숫자는 결국 로그입니다 ). 따라서 성공 확률은 다시 됩니다. 따라서 범위가 인 해시 함수를 사용하는 대신$\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$각 세트에 해시 함수 가있는 서로 다른 해시 함수 세트 (각 세트마다 다른 범위를 가짐 .$O(\log s)$

이 대체품이 왜 동등한 SYM + 회로를 제공합니까?

크기 의 AND (즉, SYM +) 회로의 SYM 은 기본적으로 다변량 다항식 와 최대 모노마 이어, 조회 테이블 및 . (예를 들어, Beigel-Tarui에서 증명을 찾을 수 있습니다.) 직관은 각 단항 은 AND 게이트이고 는 SYM 게이트입니다. 다중 선 다항식 때문에 "필수적으로 동일"$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$$g$$h$또한 일부 항에 대해 음의 계수를 가질 수 있으며 음의 계수는 AND의 SYM에서 분명히 구현할 수 없습니다. 그러나 나는 이것이 문제가 아니라고 주장한다 (그리고 Beigel과 Tarui는 주장한다). 생각 해봐 :)