합계되는 두 개의 숫자를 선택하십시오.

가장 가까운 이웃 문제가 있습니다.

실수 (매우 큰 !)과 목표 실수 , SUM이 가장 가까운 및 를 찾으십시오.$a_1, \ldots, a_n$$n$$p$$a_i$$a_j$$p$ . 우리는 합리적인 전처리 / 인덱싱을 허용합니다$a_1, \ldots, a_n$ (까지 $O(n \log n)$)이지만 쿼리시 (제공됨) $p$) 결과가 매우 빠르게 반환되어야합니다 (예 : $O(\log n)$ 시각).

(단순한 예 : SINGLE 만 원한다면 $a_i$ 가장 가까운 $p$, 우리는 정렬합니다 $a_1, \ldots, a_n$ 오프라인, $O(n \log n)$쿼리시 이진 검색을 수행합니다. $O(\log n)$).

작동하지 않는 솔루션 :

1) 정렬 $a_1, \ldots, a_n$오프라인 상태 인 다음 쿼리 시간에 양쪽 끝에서 시작하여 두 개의 포인터를 안쪽으로 이동하십시오 ( http://bit.ly/1eKHHDy ). 좋지 않기 때문에$O(n)$ 쿼리 시간.

2) 정렬 $a_1, \ldots, a_n$ 오프라인에서 쿼리 시간에 $a_i$ "버디"에 대한 이진 검색을 수행하여 $p$. 좋지 않기 때문에$O(n \log n)$ 쿼리 시간.

3) 모든 쌍을 정렬 $(a_{1}, \ldots, a_{n})$오프라인으로 설정 한 다음 이진 검색을 수행하십시오. 좋지 않기 때문에$O(n^2)$ 전처리.

감사!

추신. 실습에 필요한 추가 일반화 : (1)$a_1, \ldots, a_n$ 과 $p$ 50 차원 벡터, (2) 벡터 코사인 거리와 "닫기"및 (3) $k$-최고의 가장 가까운 쌍, 그저 1 최고가 아닙니다.

이것은 거의 불가능합니다.

전처리 시간으로 문제를 해결할 수 있다고 가정하십시오. $P(n)$ 쿼리 시간 $Q(n)$. 그런 다음 3SUM 문제 를 해결하는 간단한 알고리즘 이 있습니다.$n$ 실수, 세 요소의 합이 0입니까? $P(n)+n\cdot Q(n)$시각. 우리는 모든 숫자를 사전 처리 한 다음 각 숫자에 대해$a_k$우리는 $a_i+a_j$ 가장 가까운 $-a_k$; 일치하면$-a_k$ 정확히 3SUM 문제에 대한 해결책을 찾았습니다.

그러나 3SUM으로 알려진 가장 빠른 알고리즘은 $O(n^2)$이 알고리즘은 최적으로 추측됩니다. 또한 매칭이 있습니다$\Omega(n^2)$제한적이지만 자연스러운 의사 결정 트리 모델의 하한. 정수 세트의 경우 , "비트로 게임을하는"약간의 2 차 알고리즘이 있지만 정수 RAM 모델에서도 3SUM은 필요한 것으로 추측됩니다.$\Omega(n^2/\text{polylog}\,n)$ 시각.

따라서 추측이 정확하다고 가정하면 문제에 (거의) 2 차 전처리 시간 또는 (거의) 선형 쿼리 시간이 필요합니다.

사전 처리 중에 무제한 공간과 무제한 시간을 사용할 수있는 경우 다음 솔루션이 요구 사항을 충족합니다.

• 전처리 과정에서 세트 계산 $\{a_i+a_j:1\le i\le j\le n\}$이 세트를 정렬 된 순서로 저장하십시오. 이 세트는 생성 및 정렬 가능$O(n^2)$ 시간이 걸리고 $O(n^2)$ 그것을 저장할 공간.

• 이제 질문에 답하기 위해 $a_i,a_j$ 어디 $a_i+a_j$ ~에 가깝다 $p$이 정렬 된 목록에서 이진 검색을 수행하면됩니다. 그것은 걸릴 것입니다$O(\lg n)$ 시각.

이 솔루션을 사용할 수없는 경우 요구 사항을보다 신중하게 생각하고 그에 따라 질문을 편집해야합니다.