다항식 시간의 평균 추정

하자 함수일 우리는 평균 추정 할. ]이다 : 입니다. $f \colon \lbrace 0,1 \rbrace ^ n \to (2^{-n},1]$ $f$ $\mathbb{E}[f(n)]=2^{-n}\sum_{x\in \lbrace 0,1 \rbrace ^ n}f(x)$

NOTE: In the OP, the range of f was [0,1]. I changed this a bit for technical reasons. (This should simplify the problem; if not, forget it!)

(무작위 화) 추정 알고리즘 이라고합시다 . 에 대한 블랙 박스 액세스 권한이 있다고 가정하십시오 . 이를 합니다. $E$ $E$ $f$ $E^f$

두 가지 조건이 있습니다.

1) 추정기의 실행 시간은 : 하나의 다항식이 존재 등 모든 것을 모든 ,의 실행 시간 의해 제한된다 . $p(\cdot)$ $n$ $f$ $E^f(1^n)$ $\frac{p(n)}{\mathbb{E}[f(n)]}$

2) 신뢰도 사용한 추정 자의 정밀도 : $\delta$ 단일 다항식 이 존재하여 , 모든 과 에 대해 이며 확률은 이상 입니다. $q(\cdot)$ $n$ $f$ ${1 \over {q(n)}} < \frac{E^f(1^n)}{\mathbb{E}[f(n)]} < q(n)$ $\delta$

NOTE: The confidence δ was not in the OP. The parameter δ is in (0,1), and may depend on n. For instance, it may be 1-1/2^n.

그러한 견적자가 존재합니까?

배경과 동기

나는 배경 지식이 많이 필요하기 때문에 처음에 동기를 언급하지 않았습니다. 어쨌든 열광 자에게는 간단히 설명하겠습니다. 이러한 기사의 필요성은 다음 기사에 정의 된 "능력 증명"이라는 맥락에서 발생합니다.

오디드 골드 레이 히 전산 능력 입증 , 1992. 미공개 원고.

구체적으로, 5 페이지 하단에서 저자는 암시 적 으로 이러한 추정기의 존재를 가정했습니다 (정밀도에 대한 언급은없고 실행 시간은 정확하게 정의되지 않았지만 컨텍스트는 모든 것을 명확하게 정의합니다).

첫 번째 시도는 " 샘플러의 샘플 --- 샘플링에 대한 계산적 관점 "을 읽는 것이 었습니다 . 그것은 매우 유사한 문제와 관련이 있지만 정의 된 오류 확률은 가산 적이며 우리는 곱셈입니다. (나는 논문을 완전히 읽지 않았으며 어딘가에 필요한 것을 언급했을 수도 있습니다.)

편집 (츠요시의 요청에 따라) : 실제로 "계산 능력 증명"의 정의에는 (예상) 실행 시간이 인 "지식 추출기"가 있어야합니다 . 우리는 모르기 때문에 추정하고 싶습니다. 그러나 이것은 실행 시간을 크게 변경해서는 안됩니다. 다항식 요소까지 변경해야합니다. 정밀 조건은 이러한 요구 사항을 포착하려고 시도합니다. $p(n) \over E[f(n)]$ $E[f(n)]$

ds.algorithms randomized-algorithms black-box

— MS 두티
소스

정밀한 조건을 이해할 수 없습니다. 알고리즘 E가 항상 1을 출력하지 못하게하는 것은 무엇입니까? 1 / q (n) <(참값) / (예상 값) <q (n)을 의미 했습니까?

— Tsuyoshi Ito

p (n) = q (n) = O (1) 및 "1"을 출력 하는 사소한 알고리즘 이 작동하는 것 같습니다. 실행 시간은 O (1)이며 됩니다. 그리고 정밀도는 <= 1이며 q (n)보다 작습니다.

E^{f} (1^{n})

$E^f(1^n)$

\frac{p (n)}{E [f (n)]}

$\frac{p(n)}{\mathbb{E}[f(n)]}$

— Robin Kothari

@ 츠요시 & 로빈 : 미안 친구, 나는 정밀도에서 한 가지 조건을 놓쳤다. 지금 확인하십시오!

— MS Dousti

또한 견적자가 무작위 화 된 것 같습니다 (그렇지 않으면 불가능 해 보이므로). 이 경우입니까? 또한 그렇다면, 런타임 조건과 정밀 조건에 정확히 필요한 것은 무엇입니까?

— Tsuyoshi Ito

나는 그 질문을 명확하게 이해하지 못한다고 생각합니다. 왜 chernoff 경계를 가진 순진한 샘플러가 좋은 추정기가 아닌가?

— Sylvain Peyronnet

답변:

편집 : 이것은 f가 0 또는 1 만 출력하는 문제의 버전을 해결합니다. 그러나 솔루션이 더 일반적인 경우에 작동하도록 조정할 수 있다고 생각합니다.

어쩌면 나는 그 질문을 오해했을지도 모르지만, 그렇게 열심히 보이지는 않습니다.

평균을 추정하는 대신 1의 수를 추정하고 그 숫자를 k라고합니다. 이라고하자 . 따라서 평균은 k / N입니다. 시간 O (N polylog (N) / k)의 다항식 곱셈 인수 내에서이를 추정하려고합니다. $N = 2^n$

나는 이것이 일정한 곱셈 요소 내에서도 이루어질 수 있다고 생각합니다. 예를 들어, 이것을 2의 인수 내로 추정한다고 가정 해 봅시다. 따라서 알고리즘 의 출력 는 k / 2와 2k 사이입니다. $k'$

적절한 실행 시간을 가져야하는 알고리즘을 스케치하겠습니다. k가 N / 2와 N 사이에 있는지 먼저 확인하십시오.이 방법은 간단합니다. 몇 개의 임의의 값을 샘플링하고 1/2보다 큰 값을 얻으면이 간격입니다. 따라서 2 근사값이 있습니다. 그렇지 않은 경우 N / 4와 N / 2 사이인지 확인하십시오. 등등. 구간을 작게 만들 때마다 k가 해당 범위에 속하는지 추정하는 데 비용이 많이 듭니다. 그러나 비용은 간격이 얼마나 작은 지에 반비례합니다.

예를 들어 k가 와 사이인지 확인하는 경우 약 쿼리 를 작성해야 합니다. 어쨌든,이 절차를 충분히 반복 한 후에는 k가있는 간격을 가져야합니다. 말 사이에 K 거짓말 및 . 다음에 k는 대략 . 그래서 $N/2^q$ $2N/2^q$ $O(2^q)$ $N/2^q$ $2N/2^q$ $N/2^q$ $2^q$ 약 k / N입니다. 따라서이 단계에서는 O (k / N) 쿼리를 사용합니다. 그러나이 단계에 도달하려면 다른 단계가 필요했지만 이는 추가적인 polylog (N) 요소 일뿐입니다. 따라서 전체 실행 시간은 2 근사치 인 O (N polylog (N) / k)입니다.

(실제로 각 단계에서 적절한 정밀도를 얻으려면 오류 증폭을 수행해야합니다. 그러나 이것은 추가적인 폴리 로그 요소 일뿐입니다.)

$k$ $N/2^q$ $2n/2^q$ $k$

부울이 아닌 출력의 경우이 작업을 수행하려면 1의 수를 계산하는 대신 표시된 값을 합산하십시오. 나는 이것이 엄격하게 작동한다는 것을 보여주는 참조를 찾으려고 노력할 것이다.

— 로빈 코타 리
소스

(1) 함수 f는 정수가 아닌 값을 가질 수 있으므로 1의 수 대신 값의 합계를 사용하는 것이 좋습니다. (2) 단계별로 추정해야합니까? 합계가 고정 다항식을 초과 할 때까지 반복하여 단일 단계 에서이 작업을 수행 할 수 있다고 생각합니다. 질문에 대한 내 의견도 참조하십시오.

— Tsuyoshi Ito

아, 나는 범위가 [0,1] 인 것을 알지 못했다. 나는 그것이 {0,1}이라고 생각했다. 그러나 나는 동일한 절차가 효과가 있다고 생각합니다. 출력의 이진 표현의 특정 위치에서 1의 수를 충분히 정밀하게 계산할 수 있으므로 한 문제를 다른 문제로 줄일 수 있습니다. (2)에 대해서는 귀하의 절차가 동일하다고 생각합니다. 나는 추측과 확인 과정처럼 느껴지기 때문에 이런 식으로 생각합니다. 즉, k의 추정치가 크면 더 좋습니다. 나는 이것을 내 대답에 추가 할 것이다.

— Robin Kothari

나는 두 알고리즘이 본질적으로 동일하다는 것에 동의합니다. 또한 [0,1] 및 {0,1}의 경우, 알고리즘은 정수가 아닌 값 f (x)의 각 평가를 코인 플립 (1 wp f (x) 및 0 wp로 바꾼 후 명시된대로 작동합니다. 1-f (x)).

— Tsuyoshi Ito

@Robin : 답변 주셔서 감사합니다. 나에게도 분명하지 않은 점이 있습니다. "임의의 값을 몇 개만 샘플링하고 1보다 큰 값을 얻으면이 간격에 있습니다." 나는 이것을 정량화해야한다고 믿는다 : 얼마나 많은 샘플이 어떤 정밀도를 가져 오는가? (이러한 신뢰도를 고려하여 OP를 변경했습니다. 그렇지 않으면 필요한 샘플러를 디자인 할 수 없습니다!)

— MS Dousti

@Sadeq : 그것은 chernoff 경계입니다. k가 n / 2 (예 : 공정한 동전) 일 것으로 예상되면 n (1 + eps) / 2 이상을 보거나 하한에 대해 비슷하게 테일 바운드를 빠르게 기록 할 수 있습니다.

— Suresh Venkat

$f_1,f_2,\ldots$ $f$ $\{0,1\}^n$ $k$ $\sum_{i=1}^k f_i \ge M$ $M$ $M=polylog(n)$ $M / k$

$k$ $\mu$ $E(f)$ $k_{low}$ $k_{high}$ $\mu$ $1 - \delta$ $\sum_{i=1}^{k_{low}} f_i < M$ $\sum_{i=1}^{k_{high}} f_i > M$ $f_i$ $k_{low} < k < k_{high}$ $1-\delta$ $M/k$

— 워렌 슈디
소스