세트 커버 서브 케이스의 경도

요소의 수가 일부 함수 (예 : )에 의해 제한되는 경우 Set Cover 문제는 얼마나 어려운가? 여기서 n 은 문제 인스턴스의 크기입니다. 공식적으로$\log n$$n$

하자 와 F가 = { S 1 , ⋯ , S , N은 } S I ⊆ U 및 m = O ( 로그 N ) . 다음 문제를 결정하는 것이 얼마나 어려운가요$\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$$\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$$S_i \subseteq \mathcal{U}$$m = O(\log n)$

$$\begin{align*} \text{SET-COVER'}=\{<\mathcal{U}, \mathcal{F}, k>: &\text{ there exists at most $k$ subsets }\\ &\text{ $S_{i_1}, \cdots, S_{i_k}\in \mathcal{F}$ that cover $\mathcal{U}$} \}. \end{align*}$$

만약 ?$m=O(\sqrt{n})$

잘 알려진 추측 (예 : Unique Games, ETH)을 기반으로 한 모든 결과가 좋습니다.

편집 1 :이 문제의 동기는 증가함에 따라 문제가 어려워지는시기를 찾는 것 입니다. 분명히, 문제는 m = O ( 1 ) 이면 P에 있고 m = O ( n ) 이면 NP-hard 입니다. 문제의 NP 경도에 대한 임계 값은 얼마입니까?$m$$m=O(1)$$m=O(n)$

편집 2 : 시간 로 결정하는 사소한 알고리즘이 있습니다 ( F 의 크기 m 의 모든 하위 집합을 열거 함 ). 따라서,이 문제는 NP-단단하지 않은 경우 m = O ( 로그 N ) ETH 더 시간의 알고리즘이 없다는 것을 의미 때문에 O ( 2 N O ( 1 ) ) 모든 NP-어려운 문제는 (여기서 N 의 크기이다 NP- 하드 문제).$O(n^{m})$$m$$\mathcal{F}$$m=O(\log{n})$$O(2^{n^{o(1)}})$$n$

때 , 당신은 다항식 시간에 최적를 찾기 위해 동적 프로그래밍을 사용할 수 있습니다. 테이블은 부울 값 세포 포함 T의 ℓ , X 각각 ℓ ∈ { 0 , ... , K } 및 X ⊆ U가 존재하는지 여부를 나타내는 ℓ에서 의 요소 커버 세트 X는 .$m = O(\log n)$$T_{\ell,X}$$\ell \in \{0,\ldots,k\}$$X \subseteq \mathcal{U}$$\ell$$X$

m = O 일 때 ( √,m≤C$m = O(\sqrt{n})$ , 문제는 NP-hard로 남아 있습니다. SET-COVER의 인스턴스가 주어진 경우,{x1,…,x를포함하여 비어 있지 않은 새로운 요소의 서브 세트로 구성된m 개의새로운 요소x1,…,xm및(2C - 1 m)2 개의새로운 세트를 추가하십시오.m}(m이 충분히 클 경우(2C - 1 m)2<2m). k를증가 시키십시오$m \leq C\sqrt{n}$$m$$x_1,\ldots,x_m$$(2C^{-1}m)^2$$\{x_1,\ldots,x_m\}$$m$$(2C^{-1}m)^2 < 2^m$$k$하나씩. 새로운 은 m ' = 2 m 이고 n ' = n + ( 2 C - 1 m ) 2 ≥ ( C - 1 m ' ) 2 입니다.$m,n$$m' = 2m$$n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

$m = c \log n$$n^{O(c)}$$k = O(1)$$O(n^k \cdot m)$$N$$O(N)$$2^{N-o(N)}$이 두 시한은 다음과 같은 의미에서 다항식 시간으로 예상 할 수있는 "한계"입니다.

$k$$n$$k$$n^{k-\varepsilon}$$k \geq 2$$\varepsilon > 0$$2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$$N$$M$ 조항.

$k$$n$$m$$n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$$M$$N$$2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$$M = O(N)$$n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$$\alpha(m)$