시끄러운 부울 함수의 경도

를 불리언 변수 의 불리언 함수 라하자 . 하자 일의 기대 값 로부터 얻어진다 각각은 확률 좌표 젖혀 .$f$g ( X ) = T ε ( F ) ( X ) F ( Y ) Y , X ε /$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

나는 를 근사하기가 계산적으로 어려운 경우에 관심이 있습니다 . 저 "대략"이라는 개념을 고정하자 (그러나 다른 사람이있을 수도있다) 부울 함수 근사 경우 때 및 때 . (양수 오류 정정 코드의 존재에 기초한) 계수 인수는 이러한 근사에 지수 크기 회로가 필요한 부울 함수가 있음을 나타냅니다. 그러나 문제는 로 시작할 때 NP 또는 그 근처에 있을 때 발생하는 것 입니다.h g h ( x ) = 1 g ( x ) ≥ 0.9 h ( x ) = 0 g ( x ) ≤ 0.1 $g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$$f$

Q1 : 모든 가 NP 하드이거나 약한 의미로 하드 되도록 NP 회로 (또는 P- 공간)에 의해 기술 된 의 예가 있습니까?$f$$h$

가 항상 쉬운 것은 아니라는 것을 알기 위해 (나는 그것에 대해 유용한 토론을 한 Johan Hastad에게 감사한다) 임의의 입력을 위해 크기 도가있는 그래프의 속성을 고려할 수있다. 크릭이 크면 감지하기 어렵지만 노이즈 그래프에 예상 크기보다 큰 로그 n의 크릭이 있음을 나타냅니다. 이 경우, 어떤 도 어려울 것입니다 (그러나 준 다항식 회로가 알 수 있듯이 아마도 그렇게 어렵지는 않습니다).n은 1 / 4$h$$n^{1/4}$$h$

Q2 : 가 복잡도가 낮 으면 어떤 상황이 발생합니까? ( , 모노톤 , 등)A C 0 T C 0 A C $f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

Q3 : 부울 함수의 몇 가지 기본 예제의 상황은 무엇입니까? (질문은 실제 가치 함수로 확장 될 수도 있습니다.)

Q4 : 위의 질문에 균일 (Turing-machine) 계산 모델을 공식적으로 요청할 수 있습니까?

업데이트 : Andy의 대답 (안녕하세요, Andy)을 고려할 때 가장 흥미로운 질문은 다양한 특정 기능의 상황을 이해하는 것입니다.

업데이트 또 다른 질문 Q5 [모노톤 기능 Q1 (또한 앤디의 대답에 비추어을). 가 모노톤 인 경우 상황 은 어떻습니까? 여전히 NP 완전한 질문을 강력하게 인코딩 할 수 있습니까?>$f$

질문 1의 경우 대답은 예이며 다음과 같이 표시 될 수 있습니다. (또한 인수가 균일하고 모든 입력 길이를 한 번에 처리하므로 Q4에 대한 긍정 답변을 암시 적으로 스케치합니다.)

NP 완성 언어 과 이진 오류 수정 코드를 수정하십시오 (예 : 비율 1/4 및 오류의 0.1 분율로 수정). 하자 길이 부호화 함수일 ; 우리는 이 균일 한 다항식 시간 알고리즘에 의해 계산 될 수있는 그러한 코드를 사용 합니다.E n c n : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } 4 n n E n c = { E n c n$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

를 최대 거리 내에있는 스트링 세트 로 정의 코드 워드에서 일부 요소 인코딩 . 참고 당신이 근처에 코드 워드, 디코딩 된 단어와의 디코딩 된 단어의 회원에 대한 NP 인증서 추측 확인할 수로, NP에 . z .05 | z | y ∈ E n c ( L ) L L '$L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

그렇다면 당신의 의미에서 의 "근사치"는 대해 NP-hard입니다 . 우리가 유효한 코드 워드 고려하는 경우를 들어 어떤 길이의 다음 확률로, 임의의 이상 -perturbed 버전 의 , 그것은 동의 할 것이다 기껏에서. 좌표의 5 분의 1에 해당하므로 이상의 코드에서 다른 코드 워드와 일치하지 않습니다 . 이러한 경우 iff 입니다. 따라서 ε = 0.01 , Y = E N C ( X ) 4 N 1 - O ( 1 ) ε Y ' , Y , Y E N C , N 0.05 , Y ' , Y ' ∈ L ' X ∈ L의 시간 ε의 L ' H ( Y ) = L ( x ) E n c L h $L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$의미에서 smoothed 에 대한 근사치 이므로 가 있어야합니다 . 는 효율적으로 계산할 수 있기 때문에 에 대한 회원 질문 을 대한 질문으로 효율적으로 줄일 수 있습니다 . 그래서 NP-어렵다.$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$$h$

두 가지 메모 :

(1) NP 인스턴스의 오류 수정 인코딩은 여러 논문에서 사용되었습니다. 특히
D. Sivakumar : 멤버쉽 비교 세트. J. 컴퓨팅 시스. 공상 과학 59 (2) : 270-280 (1999).

(2) 물론 위의 주장은 인스턴스별로 오류 수정이 적용되기 때문에 NP 문제의 평균 사례 복잡성에 대해서는 아무 것도 말하지 않습니다.