TCS에서 가장 오래된 공개 문제점은 무엇입니까?

이 문제는 이 MO 질문 에서 영감을 얻었 으며 매우 흥미로 웠습니다.

TCS에서 가장 오래된 공개 문제점은 무엇입니까?

분명히이 질문에는 약간의 설명이 필요합니다.

먼저 TCS 란 무엇입니까? 홀수 완벽한 숫자의 존재는 TCS가 아니라고 생각합니다. 나는 그 말을 힐베르트의 열 번째 문제는 TCS이다. 나는 "우리가 통치자와 나침반으로 X를 구성 할 수 있는가"와 같은 문제도 TCS라고 생각합니다. 왜냐하면 그들은 제한된 계산 모델에서 알고리즘을 요구하기 때문입니다. TCS 문제점을 정의하는 엄격한 방법은 없지만 판단을 사용하십시오. 아마도 하나의 테스트는 "이것이 해결되면 STOC / FOCS에 나타날 가능성이 가장 높습니까?이 문제를 해결 한 연구원이 이론적 인 컴퓨터 과학자 일 것입니까?"

둘째, "가장 오래된 것"은 무엇입니까? 날짜별로 가장 오래된 것을 의미합니다. 명시된 날짜도 확인할 수 있어야하지만 이것이 너무 어렵다고 생각하지 않습니다.

셋째, "개방형 문제"란 무엇입니까? "개방형 문제"란 특정 시점에 구체적으로 공개 된 것으로 간주되는 문제를 의미합니다. 아마도 열린 문제 부분에있는 논문의 끝 부분에 나타 났거나, 일부 사람들이 그 일을하고 실패했다는 증거가 있거나, 문헌에 부정확 한 증거가있을 수 있습니다. 이 기준에 맞지 않는 것의 예 : "그리스인들은 물체 X와 Y를 연구했습니다. Z는 분명히 중간 물체이며, 그것이 구성 될 수 있는지 궁금합니다." 그 기간부터 Z에 관한 문헌이 없다면, 그 시점에서 공개 된 문제가 아닙니다.

넷째, "문제"는 무엇을 의미합니까? 나는 특정한 "예 / 아니오"질문을 의미하며, "질문 Y로 모든 객체 X 특성화"와 같은 질문은 아닙니다. 그러한 질문은 종종 만족스러운 답변이 없기 때문입니다. 질문이 해결되었는지에 대해서는 종종 의견이 일치하지 않습니다. 여기서 그러한 질문에 빠지지 마십시오. 예 / 아니오 질문이 아니지만 실제로 공개되어 있음이 분명한 경우에도 괜찮습니다. (이것이 명확하지 않은 경우, "문제점"은 공식적으로 언급 된 문제를 의미합니다. 16 세기 도박에 관한 민속 전설을 BPP와 PSPACE에 관한 질문으로 바꾸지 마십시오.)

마지막으로 큰 질문이 아니기 때문에 이미 게시 된 답변보다 오래되었다고 생각되는 경우 (또는 답변이 TCS가 아닌 다른 조건을 충족하지 않는다고 생각하는 경우에만) 또는 그들은 열려 있지 않습니다). 이것은 오래된 공개 문제의 무차별 모음이 아닙니다.

정수 곱셈의 계산 복잡성은 무엇입니까? 아마도이 질문은 적어도 BC 1650 년경에 쓰여진 Rhind Mathematical Papyrus에 설명 된 정수 곱셈에 대한 '중복과 중개'알고리즘으로 거슬러 올라가지 만 상당히 오래된 문서의 사본이라고 주장합니다.

분명히, Rhind 파피루스는 알고리즘의 복잡성을 명시 적으로 고려하지 않았습니다. 아마도 더 나은 대답은 선형 방정식 시스템을 푸는 것이 얼마나 복잡할까요? 날짜에 발표 리우 후이의 논평에 적어도 백업 선형 시스템을 해결하기위한 효율적인 알고리즘에 대한 연구 263 AD 에, 수학 예술의 나인의 장을 . 특히 Liu Hui는 현재 가우시안 제거로 인식되는 두 가지 변형을 비교하고보다 효율적인 방법을 찾기위한 명시적인 목표로 각각에 사용되는 산술 연산 수를 계산합니다.

이 두 가지 질문은 여전히 ​​활발한 연구의 목표입니다.

효율적인 팩토링 알고리즘에 대한 검색은 적어도 가우스로 거슬러 올라갑니다. Gauss ' Disquitiones Arithmeticae (1801)의 329 조에 는 다음과 같은 인용문이있다 ( source ).

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

물론 Gauss가 자신이 원하는 것을 정확히 인수 분해 알고리즘에서 정의하지 않은 것은 사실입니다. 그는 같은 기사에서 당시 알려진 모든 원시성 테스트 알고리즘이 매우 "노동적이고 프롤 릭스"라는 사실에 대해 이야기했습니다.

다음에서 인용

• Goldwasser, S. 및 Micali, S. 1982. 확률 적 암호화 및 모든 부분 정보를 비밀로 유지하는 정신적 포커 게임 방법. 에서 컴퓨팅의 이론에 열네 번째 연례 ACM 심포지엄 논문집 (- 07, 1982 샌프란시스코, 캘리포니아, 미국 5 월 5 일). STOC '82. ACM, 뉴욕, NY, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Gauss 'Disquitiones Arithmeticae (1801)로 거슬러 올라가는 또 다른 문제를 나타냅니다.

N의 인수 분해를 알 수없고 이며, 여기서 이 Jacobi 기호를 나타내는 경우 q가 a인지 여부를 결정하는 알려진 절차는 없습니다. 2 차 잔류 물 mod N.이 결정 문제는 수론에서 어려운 것으로 잘 알려져 있습니다. 그것은 그의 Disquisitiones Arithmeticae (1801)에서 Gauss 가 논의한 주요 4 가지 알고리즘 문제 중 하나입니다 . 이를위한 다항식 솔루션은 인수 분해를 알 수없는 복합 N이 2 또는 3 프라임의 곱인지 결정하는 것과 같이 Number Theory의 다른 열린 문제에 대한 다항식 솔루션을 의미합니다. Adleman의 열린 문제 9와 15를 참조하십시오 .($(\frac{q}{N})=1$$(\frac{q}{N})$

추신 : 지금까지 우리는 네 가지 알고리즘 문제 중 두 가지를 알고 있습니다 .

1. 팩토링 (arnab에 의해 언급 된 바와 같이);
2. 이차 잔차 결정.

Gauss가 설명한 나머지 두 가지 문제점은 무엇입니까?

우리나라의 문헌에는 문자 그대로 "수수께끼가 풀리면 쉬워진다"는 말이 있습니다. 좋은 번역은 아니지만 솔루션이있을 때 쉽게 확인할 수 있다는 사실을 의미합니다. 그러나 그 전에는 수수께끼가 매우 어려워 보입니다.

이것은 현재 유명한 "FP vs. FNP"문제를 말합니다. FNP = FP 인 경우 수수께끼에 대한 답을 찾는 것만 큼 쉽습니다. 그러나 FNP ≠ FP 인 경우 솔루션을 찾는 것보다 솔루션을 찾는 것이 훨씬 어려운 "수수께끼"가 있습니다.

나는이 문제가 가장 오래된 TCS 공개 문제라고 생각하지만, 약 30 년 전의 엄격한 공식화 날짜입니다!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

편집 : "폴리 타임으로 숫자를 고려할 수 있습니까?"는 또 다른 TCS 공개 문제이지만 위에서 언급 한 문제보다 젊다 고 생각합니다.

웹에있는 두 가지 TCS 공개 문제점 목록은 다음과 같습니다.

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

우리는 또한 CSTheory에 그러한 목록을 가지고 있습니다.

나는 어떤 수의 이론적 집합이 TCS의 일부로서 유한한지 무한한지에 대한 질문을 포함하는 당신의 배제 이론에 의문을 제기하고 분명히 다른 주장을 할 것입니다. 그리스인들은 다음과 같은 질문을했다.

• 홀수 완벽한 숫자가 있습니까? [유클리드에 의해 고려 될 수 있음]

• 무한한 수의 트윈 프라임이 있습니까?

이것들은 특정 TM 정지에 관한 질문과 대부분의 이론 이론 질문 사이의 강한 대응에 기초하여 계산 성 이론 질문으로 쉽게 표현 될 수 있습니다. 첫 번째 경우 홀수 완벽한 숫자를 검색하여 위쪽으로 세고 찾지 못하면 중지 하는 를 빌드하십시오 . 두 번째 경우 에는 이전 트윈 프라임 쌍 이후에 발견 된 트윈 프라임을 검색 할 때 큰 상한을 사용하는 머신을 빌드하십시오 . 멈춰요? T M $TM_x$$TM_y$

틀림없이 이것들은 두 개의 고대 알고리즘 문제이며 그리스인들은 가장 초기 TCS를 개척했으며 주로 수 이론과 초기 수 이론 문제는 Turings가 문제를 멈추고 어려움에 대한 초기 상황 증거 일뿐입니다. 증거에 대한 질문 / 찾기 / 검색과 결정 불가능한 이론 사이에는 밀접한 관계가 있습니다.

논란의 여지가 있지만 새로운 연구에 따르면 콜라 츠 추측은 한 번은 수수께끼의 호기심으로 여겨졌 고 계산 성 이론에 깊이 빠져 있으며 결정 불가능한 문제와 결정 불가능한 문제 사이 의 경계에 놓여있을 수 있습니다. 또한 힐 버츠 10 번째 문제를 인용 한 예는 수 이론과 TCS 사이의 매우 근본적인 연관성을 보여줍니다.

다른 두 가지 고대 알고리즘 질문 ​​:

• gcd, 최대 공약수를 계산하기위한 효율적 또는 가장 효율적인 알고리즘은 무엇입니까?

• 프라임을 계산하기위한 효율적이거나 가장 효율적인 알고리즘은 무엇입니까?

두 번째 질문은 팩토링과 밀접한 관련이 있지만 물론 같지는 않다는 데 동의했습니다. 그것은 에라토스테네스의 체와 유클리드에 의해 고려되었습니다. 물론 최근에는 AKS가 P로 표시했지만 알고리즘은 완전히 최적의 것으로 입증되지 않았습니다.

유클리드 gcd 알고리즘 (즉, 20 세기)에 대한 매우 현대적인 TCS 연구가 있는데 피보나치 수는 최악의 성능을 보여줍니다. [1st 누가 이걸 보여줬는지 모르겠다]

유클리드 알고리즘이 최적으로 입증 될 때까지 gcd의 효율적인 계산이 여전히 열려 있습니다.

이 답변이 얼마나 심각한 지 잘 모르겠지만 ...

그것은 당신이 질문을 얼마나 광범위하게 정의 할 것인지에 달려 있습니다.

"지능형 기계를 만들 수 있을까요?" CS에서 컴퓨터 과학을 시작한 가장 오래된 공개 질문이지만 아마도 CS보다 1 ~ 2 년 정도 오래되었을 것입니다. 아니? (기계 자체가 아닌 답을 요구하기 때문에 이론적 인 질문입니다 ...)

지능형 기계 검색에 대한 자연스런 언급은 Golem ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

한동안 100 % 확실하게 귀하의 질문에 답변 할 수 있습니다. 우리 가 Hartmanis and Stearns의 주요 논문 에서 미래의 시점 까지의 기간을 고려한다면 , 여전히 열려있는 TCS에서 가장 오래된 문제는 다음과 같습니다.

결정 론적 TM 시뮬레이션에 필요한 최소 오버 헤드는 무엇입니까?

첫 번째 답변은 . 여기서 은 시뮬레이션중인 TM의 실행 시간이며, Hennie와 Stearns 가 빠르게 개선 한 것입니다. 내가 아는 한 최선을 다해 대답하십시오.T ( n ) 로그 T ( n $T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

이 문제는 여전히 개방적이며 개선으로 인해 많은 결과가 개선 될 것입니다. 가장 중요한 것은 결정적 시간 계층 구조의 차이 일 것입니다. 그러나이 주제에 대한 연구는 격차가 필요하다는 것을 시사한다 .$\log T(n)$