형식 이론에서 유한 집합 이론의 형식화

대부분의 교정 보조원은 "유한 세트"개념을 공식화했습니다. 그러나 이러한 형식화는 크게 다릅니다 (그러나 모두 본질적으로 동일하기를 희망하지만). 이 시점에서 내가 이해하지 못하는 것은 관련된 디자인 공간과 각 공식화의 장단점입니다.

특히 다음을 이해하고 싶습니다.

• 간단한 유형 이론에서 유한 세트 (즉, 유한 한 수의 주민이 거주하는 유형)를 축약화할 수 있습니까? 시스템 F? 이 방법으로 수행하는 단점은 무엇입니까?
• 나는 그것이 의존적으로 유형이 지정된 시스템에서 '우아하게'이루어질 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그러나 고전적인 관점에서 결과 정의는 매우 외계인처럼 보입니다. [나는 그들이 틀렸다고 말하는 것이 아니다!]. 그러나 나는 왜 그들이 옳은지 이해하지 못합니다. 나는 그들이 올바른 개념을 고르지 만 '그런 식으로 말하는'더 깊은 이유는 내가 완전히 이해하지 못하는 이유라는 것을 이해합니다.

기본적으로 형식 이론에서 '유한 세트'개념의 형식화 디자인 공간에 대한 합리적인 소개를 원합니다.

나는 그것이 의존적으로 유형이 지정된 시스템에서 '우아하게'이루어질 수 있다는 것을 알고 있습니다. 그러나 고전적인 관점에서 결과 정의는 매우 외계인처럼 보입니다.

당신은 "외국인"의 의미를 설명 할 수 있습니까? 유한 이론의 개념을 형식 이론과 집합 이론에서 정확히 같은 방식으로 공식화하는 것 같습니다.

집합 이론에서는 집합 을 그런 다음 유한 술어를 다음과 같이 정의하십시오. 여기서 는 세트의 동 형사상을 의미합니다.$Fin(n)$

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \{ k \in \mathbb{N} \;|\; k < n \}$$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \exists n\in\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

타입 이론에서는 정확히 같은 일을 할 수 있습니다! 참고 갖는 타입 인 원소 (상기 한 쌍의 두 번째 구성 요소가 보낸 증명 무관하다). 그런 다음 유한 유형 생성자를 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. 여기서 는 유형의 동 형사상을 의미합니다.

$$\mathrm{Fin}(n) \triangleq \Sigma k:\mathbb{N}.\; \mathsf{if}\; k < n\,\mathsf{then}\; \mathsf{Unit} \;\mathsf{else}\; \mathsf{Void}$$ $\mathrm{Fin}(n)$$n$ $$\mathrm{Finite}(X) \triangleq \Sigma n:\mathbb{N}.\; X \simeq \mathrm{Fin}(n)$$ $A \simeq B$

Neel의 답변에 유용한 것을 추가 할 수 있는지 살펴 보겠습니다. 유한 세트에 대한 "디자인 공간"은 건설적으로 훨씬 더 크며, "유한"에 대한 다양한 정의가 건설적으로 동의 할 필요가 없기 때문에 고전적입니다. 유형 이론의 다양한 정의는 약간 다른 개념을 제공합니다. 몇 가지 가능성이 있습니다.

관한 Kuratowski 유한 집합 ( -finite)을 특징으로 할 수없는 -semilattices : 집합 형 또는 객체 주어진 , 유리의 요소 -semilattice 한정된 서브 세트로의 thougth 될 수 . 실제로 이러한 각 요소는 다음에 의해 생성됩니다.$K$$\lor$$X$$\lor$$K(X)$$X$

• 빈 세트에 해당하는 중립 요소 또는$0$
• 싱글 톤 해당 하는 제너레이터 또는$x \in X$$\lbrace x \rbrace$
• 조합에 해당하는 두 요소 의 조인$S \lor T$

의 등가 공식은 다음과 같습니다 . 는 -finite입니다. 있고 surjection 가있는 경우에만 .$K(X)$$S \subseteq X$$K$$n \in \mathbb{N}$ $e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$

이것을 Neel의 정의와 비교하면 같은 bijection 가 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 결정 가능한 동등성을 갖는 finite 서브셋 를 취한다 : 입니다. 결정 가능한 finite 부분 집합 집합에 를 사용합시다 .$e : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to S$$K$$S \subseteq X$$\forall x, y \in S . x = y \lor x \neq y$$D(X)$$K$$X$

분명히 는 유한 조합에서 닫히지 만 유한 교차로에서 닫을 필요는 없습니다. 그리고 는 어떤 작업에서도 닫히지 않습니다. 사람들은 유한 집합이 "상단이없는 부울 대수"와 같은 역할을하기를 기대하기 때문에 자유 일반화 된 부울 대수 ( , , 및 relative 보완 ) 로 정의 할 수도 있지만 실제로는 결코 그런 노력에 대해 들었습니다.$K(X)$$D(X)$$0$$\lor$$\land$$\setminus$

"정확한"정의가 무엇인지 결정할 때 유한 세트로 무엇을하고 싶은지주의를 기울여야합니다. 그리고 하나의 올바른 정의는 없습니다. 예를 들어, 다항식 유한의 복소수 근 은 "무한"의 의미에서 무엇 입니까?

참조 건설적으로의 유한을? 유한성에 대한 자세한 논의는 Thierry Coquand와 Arnaud Spiwack이 작성했습니다. 교훈은 유한함이 건설적으로 명백하지 않다는 것입니다.