우리는 계산할 수

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문제에 대한 효율적인 알고리즘을 찾고 있습니다.

입력 : 일부 정수 대한 양의 정수 $3^n$ (비트로 저장 됨) . $n \geq 0$

출력 : 숫자 $n$ .

질문 : 우리가 계산할 수 $n$ 의 비트에서 $3^n$ 에서 $O(n)$ 시간은?

이것은 수학에 대한 나의 대답 에 의해 동기 부여 된 이론적 질문입니다 .SE 질문 이 bijection에 대한 공식을 찾는 방법은 무엇입니까? . 이 질문에서, 저자는 및 자연수 에서 bijection을 찾고자했습니다 . I 제안

{2^{n} 3^{m} : n \geq 0 and m \geq 0}

$\{2^n 3^m: n \geq 0 \text{ and } m \geq 0\}$

N = {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$

2^{m} 3^{n} \mapsto 2^{m} (2 n + 1)

$2^m 3^n \mapsto 2^m(2n+1)$ 해결책으로. 또 다른 대답은 "단순한 공식이 없다"고 주장하며, 제안 된 솔루션이 얼마나 간단하게 계산되는지 궁금해집니다.

내 제안 된 솔루션을 우리는 알고있는 경우 과 , 우리는 쉽게 계산할 수 (의 이진수 쓰기 다음을 다음에 제로). 이것은 시간 이 걸립니다 . $n$ $m$ $2^m(2n+1)$ $n$ $1$ $m$ $O(n+m)$

$m$ $2^m 3^n$ $3^n$ $O(m)$

$n$ $n$ $3$ $n$ $O(n)$ $O(n^2)$ $O(n^2)$

$3$

ds.algorithms time-complexity

— 레베카 제이 스톤즈
소스

2

O (1)

$O(1)$

\log_{2} 3

$\log_2 3$

3

downvoter가 downvote를 설명 할 수 있습니까? 전혀 사소한 질문처럼 보이지 않습니다. 합리적인 계산 모델에서 최고의 실행 시간은 얼마입니까?

— Yuval Filmus

1

O (1)

$O(1)$

이 질문

— J.-E.

Ω (n)

$\Omega(n)$

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확실한 접근 방식은 다음과 같습니다.

$\log_2(3^n)$ $\epsilon$ $O(\log\frac{1}{\epsilon})$ $\epsilon$ $1/2$

$\log_2(3)$ $O(\log n)$

(3) (1)에 대한 답을 (2)에 대한 답으로 나누고 가장 가까운 정수로 반올림합니다.

따라서 첫 번째 단계는 선형 시간 ( 단일 헤드 Turing 기계 와 같은 일부 전력이 공급되지 않는 컴퓨터의 경우는 아니지만 대부분의 계산 모델 )이 필요하고 나머지 단계는 다항식이어야합니다.

— 데이비드 엡스타인
소스

3

\log_{2} (3)

$\log_2(3)$

t

$t$

O (M (t) \log t)

$O(M(t) \log t)$

M (t) \leq O (t \log t 2^{\log^{*} t})

$M(t) \leq O(t \log t 2^{\log^* t})$

t

$t$

참조 해 주셔서 감사합니다. 너무 게으르다 보니 죄송합니다.

— David Eppstein

9

$n>0$ $3^n$ $L = \lceil \log_2(3^n)+1\rceil$

\frac{L - 2}{\log_{2} 3} \leq n \leq \frac{L - 1}{\log_{2} 3} .

$\frac{L-2}{\log_2 3} \le n \le \frac{L-1}{\log_2 3}.$

L \geq 1

$L\ge 1$

3

$3$

L

$L$

n = ⌊ \frac{L - 1}{\log_{2} 3} ⌋ .

$n = \left\lfloor\frac{L-1}{\log_2 3}\right\rfloor.$

— 제프
소스

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$k$ $3^n$ $3^n \bmod 10^k$ $3^n \bmod 5^k$ $3$ $5^k$ $3$ $\varphi(5^k)=5^{k-1} \times 4$

따라서 이산 로그와 Hensel 리프팅을 사용하면 의 낮은 자리 에서 를 매우 효율적 으로 계산할 수 있어야한다고 생각합니다 . 다시 말해, 의 이산 로그를 기본 인 모듈로 로 가져 와서 의 낮은 자릿수에서 를 계산하여 시작합니다 . 이것은 시간 안에 수행 될 수 있습니다 . 그런 다음, 의 이산 로그를 기본 , modulo ; 이것은 과 같이 수행 할 수 있습니다 $n \bmod \varphi(5^k)$ $k$ $3^n$ $n \bmod 4$ $3^n$ $3^n \bmod 5$ $3$ $5$ $n \bmod 4$ $O(1)$ $3^n \bmod 25$ $e$ $25$ $n \bmod 20$ $O(1)$ 시간 (의 지식을 활용 단지가 가능성은 당신이 시도해야합니다). 반복합니다. 각 단계에서, 당신의 지식을 사용하여 효율적의 이산 로그 계산하는 데 도움 에만 존재한다는 사실을 이용, 가능한 가지 값 . $n \bmod 4$ $5$ $n \bmod \varphi(5^{k-1})$ $3^n \bmod 5^k$ $5$ $n \bmod \varphi(5^k)$

이제 충분히 크게두면 이 나타납니다 . $k$ $n$

실행 시간이 인지 여부를 해결해야 하지만 그럴 수도 있습니다. 충분하다고 생각하고 시간에 총 반복 시간 동안 각 반복을 수행 할 수 있다고 생각합니다 . $O(n)$ $k=O(n)$ $O(1)$ $O(n)$

— DW
소스