위치가 제한된 토폴로지 정렬의 복잡성

I는 입력 할 DAG로 제공하고 의 각 꼭지점 정점 별도로 일부 표지 .n x S ( x ) ⊆ { 1 , … , n $G$$n$$x$$S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\}$

의 위상 정렬 전단 사 함수의 인 F 의 정점에서 G 로 \ {1 \ ldots 단락, n \} 등 모두를위한 X , Y 에서의 경로가있는 경우 , X 로 Y 의 G 다음 (X) f는 \ leq f (y) . 모든 x , f (x) \ in S (x)에 대해 토폴로지 종류의 G 가 존재하는지 여부를 결정하고 싶습니다 .f G { 1 , … , n } x y x y G f ( x ) ≤ f ( y ) G x f ( x ) ∈ S ( x $G$$f$$G$$\{1, \ldots, n\}$$x$$y$$x$$y$$G$$f(x) \leq f(y)$$G$$x$$f(x) \in S(x)$

이 결정 문제의 복잡성은 무엇입니까?

[참고 : 분명히 이것은 NP에 있습니다. 허용 된 정점 / 위치 쌍의 그래프를 보면 순서를 위반하기 때문에 충돌하는 쌍들 사이의 방향이없는 모서리가있는 경우, 각 당 최대 한 쌍, 최대 한 쌍 당 선택하려는 분리 된 부분의 그래프를 얻을 수 있습니다. 위치와 정점 당 최대 한 쌍-3 차원 매칭과 관련이있는 것으로 보이지만이 특정 문제의 추가 구조로 여전히 어려운지 알 수 없습니다.]

이 문제는 NP-hard라고 생각합니다. MinSAT에서 축소를 스케치하려고합니다. MinSAT 문제에서 우리는 CNF를 받고 우리의 목표는 만족 된 조항의 수를 최소화하는 것입니다. 이 문제는 NP-hard입니다 (예 : http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480191220836?journalCode=sjdmec 참조)

정점을 두 그룹으로 나눕니다. 일부는 리터럴, 다른 것은 절을 나타내므로 $n=2v+c$ 여기서 $v$ 는 CNF (일반적으로 n으로 표시)의 변수 수 $n$이고 $c$ 는 절 수입니다. 각 리터럴-정점에서 절이 발생하는 절-정점으로 가장자리를 지정하십시오. x_i 를 \ {i, i + v + k \} (여기서 k 는 임의의 매개 변수) 로 나타내는 리터럴 정점에 대해 $S$ 를 정의 하므로 f (x_i) = i 및 f (\ bar x_i) = i + v + k 또는 f (\ bar x_i) = i 및 f (x_i) = i + v + k 입니다. 각 절-버전에 대해 S = \ {v + 1, \ ldots, v + k, 2v + k + 1, \ ldots, n \}$x_i$$\{i,i+v+k\}$$k$$f(x_i)=i$$f(\bar x_i)=i+v+k$$f(\bar x_i)=i$$f(x_i)=i+v+k$$S=\{v+1,\ldots,v+k,2v+k+1,\ldots,n\}$따라서 절의 정점 $k$ 는``작습니다 ''.

이제 CNF에는 위의 인스턴스에서 문제를 해결할 수있는 경우에만 k 개 이상의 $k$절이 거짓 인 할당이 있습니다. MinSAT 문제는 CNF 공식 \ varphi에 k$\varphi$ 개 이상의 절을 거짓으로 하는 대입이 있는지 여부를 정확하게 테스트하는 것이므로 문제가 NP-hard임을 나타냅니다.$k$

이 축소를 이해하는 데 도움이되는 직관은 다음과 같습니다. 작은 레이블 ( )은 진리 값 False에 해당하고 큰 레이블 ( )에 해당합니다. 진실로. 리터럴 버텍스의 제약 조건으로 인해 각 가 True 또는 False이고 의 반대 값이 일치 합니다. 가장자리는 리터럴이 True 인 경우 리터럴이 포함 된 모든 절-정점에도 True가 할당되도록합니다. (a 절 모든 리터럴 거짓 할당되는 경우 반대로,이 그래프 구조는 절 정점 중 하나 거짓 또는 참이 할당 될 수있다.) 마지막의 선택 것을 보장 절-정점은 잘못된 할당되고$1,2,\dots,v+k$$v+k+1,\dots,2v+k$$x_i$$\overline{x_i}$$k$$k$$c-k$그들 중 True가 할당됩니다. 따라서이 그래프에 유효한 토폴로지 정렬이있는 경우 절 중 개 이상을 false로 만드는 변수에 대입이 있습니다 (False로 지정된 모든 절-구문과 True로 지정된 것). 반대로, 절 중 개 이상을 false로 만드는 변수에 대입 이있는 경우이 그래프에는 유효한 토폴로지 종류가 있습니다 (우리는 문자 그대로 정점에 대한 레이블을 명백한 방식으로 채 웁니다.) 각 절에 대해$k$$\varphi$$k$$\varphi$$\varphi$즉, 해당 절-정점에 True에 해당하는 레이블을 제공합니다. 다른 조항 절은 임의의 진리 값에 해당하는 레이블을 수신 할 수 있습니다).

를 임의적 (필수적으로 형용 할 필요는 없음) 으로 허용하여 문제를 완화하면 다항식이됩니다. 이 알고리즘은 토폴로지 정렬과 유사하게 진행 됩니다. 이웃에 번호가 매겨진 번호가없는 정점의 U 를 유지하면서 정점에 하나씩 번호를 매 깁니다. 가능할 때마다 정점 x ∈ U 를 선택하고 이웃의 수보다 큰 S ( x ) 의 가장 작은 요소로 번호를 매 깁니다. 인스턴스 ( G , S ) 가 이전 알고리즘이 실행되는 경우 해결책이 있음을 알기 어렵지 않습니다 ( G $f$$U$$x \in U$$S(x)$$(G,S)$ 는 모든 정점으로 번호가 매겨집니다.$(G,S)$

사소한 관찰은 모든 x에 대해 ≤ 2 이면 ,이 문제는 2SAT로 감소함으로써 다항식 시간으로 해결할 수 있습니다.$|S(x)| \le 2$$x$

방법은 다음과 같습니다. i ∈ S ( x )가 되도록 각 꼭짓점 x 와 각 i 에 대해 변수 를 소개합니다 . 각각의 쌍의 경우 , X , Y 의 경로가있는 경우 정점의 X 로 Y가 우리가 어떤 제약을 얻을 : 만약 I ∈ S ( X ) , J ∈ S ( Y ) , 및 난 > J , 우리는 제한을받을 ¬ v x , $v_{x,i}$$x$$i$$i \in S(x)$$x,y$$x$$y$$i\in S(x)$$j\in S(y)$$i>j$ . Bijectivity는 우리에게 또 다른 제약 조건을 제공합니다 : 각 쌍 x , x ≠ y 를 갖는 정점 y , i ∈ S ( x ) 및 i ∈ S ( y ) 인 경우 ¬ v x , i ∨ ¬ v y , i를 추가 합니다. 마지막으로, 각 정점이 라벨을 할당해야한다는 요구 사항은 우리에게 제약의 또 다른 세트를 제공합니다 각각 X , 만약 S $\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,j}$$x,y$$x\ne y$$i \in S(x)$$i \in S(y)$$\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,i}$$x$ , 우리는 제약 조건 v x , i ∨ v x , j를 얻습니다. (마지막 제약 조건 세트 만각 x 에 대해 | S ( x ) | ≤ 2 라는 약속을 이용합니다.)$S(x)=\{i,j\}$$v_{x,i} \lor v_{x,j}$$|S(x)|\le 2$$x$

이 관찰이 특정 상황에서 도움이되지 않는다는 것을 알고 있습니다. 미안합니다.