아벨 리아의 숨겨진 부분 군 문제에 대한 양자 알고리즘을 이해하기 어려움

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AHSP 알고리즘의 마지막 단계를 이해하는 데 어려움이 있습니다. 하자 $G$ 아벨 군되고 $f$ 서브 그룹 숨기는 일 함수 $H$ . 하자 $G^*$ 의 이중 그룹 대표 $G$ .

알고리즘 단계는 다음과 같습니다.

먼저 주를 준비하고

. $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$
그런 다음 를 평가하는 퀀텀 오라클을 적용 하면 $f$ $I$

. $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$
이제 의 두 번째 큐빗을 측정 하면 $I'$

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

일부 . $r \in G$
이제 우리는 첫 번째 큐 비트에 양자 푸리에 변환을 적용합니다.

, $\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$

여기서 . $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

지금 상태에서 어떻게 우리가 그룹의 발전기 얻을 수있는 ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— 사용자 774025
소스

Andrew Childs의 AHSP 강의 노트를 읽는 것이 좋습니다. math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— Robin Kothari

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이 고전적인 후 처리는 Abelian 그룹의 몇 가지 사소한 그룹 이론적 속성을 활용합니다. 나는이 고전적인 알고리즘이 어떻게 작동하는지에 대한 교훈적인 설명을 썼다 [1] ; 읽을만한 다른 좋은 자료는 [ 2 , 3 , 4 ]입니다.

따라서 알고리즘의 끝에서 표준 기준으로 측정하면 요소가 무작위로 균일하게 제공됩니다. 이 확인 어렵지 않다 설정이 인 문자 그룹의 (유한 아벨) 서브 그룹 ; 인해 이후 측정 라운드의 생성 집합 지수 근접 하나 확률로 얻어진다. $H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

가장 기술적 인 부분은 생성 세트가 주어지면 를 재구성하는 방법 입니다. 지금부터이 문제에 초점을 맞추겠습니다. 이를 위해 우리는 성격 이론의 일부 기초가 필요합니다. $H$ $H^{*}$

캐릭터 이론

우선, 가 유한 아벨 리아 인 경우, 문자는 와 동형 인 그룹을 형성 하며 $G$ $G$ 문자 의 레이블는의 요소입니다. 맵은와사이의 동형을 정의하므로 두 그룹을 모두 식별 할 수 있습니다.

χ_{지} (h) = 특급 (2 π 나는 \sum_{나는 = 1}^{미디엄} \frac{지 (나는) h (나는)}{디_{나는}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

이제 주어지면 , 설명하는 세트 는 의 직교 하위 그룹 또는 소스에 따라 의 소멸자입니다 . 이 부분 군에는 몇 가지 중요한 수학적 특성이 있습니다. $H$ $H^*$ $H$ $H$

우선, 는 또한 하위 그룹입니다 . $H^*$ $G$
그것은이다 이중 에 우리는 이중어나 이얼 레이터의 서브 그룹을 고려하면 의미에서, ,이 하위 그룹에 동형 예 : . 이를 통해 방정식 시스템 $H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$ 대해 정확하게원하는부분 군 의 요소입니다.
$χ_{지} (h) = 1, 모든 지 \in H^{※}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

그룹에 대한 선형 방정식

이제 우리가 사용할 수 있는 주요 관찰 은 다음과 같습니다 ( 이 부분에서는 [1] 을 따를 것입니다 ). 이전 방정식 시스템을 '' 유한 Abelian 그룹에 대한 선형 방정식 시스템 ''으로 다시 작성할 수 있습니다 . 즉, 입력이 유한 Abelian 그룹 , 대한 문제를 의미합니다 . 요소 ; 그룹 동질성 이고 과제는 방정식 의 해를 구하는 것 입니다. 모든 동질성을 행렬 로 쓸 수 있음을 보여줄 수 있습니다 $X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (엑스) = 비

$\alpha(x)=b$

A

$A$ 위의 문제를

로 다시 표현할 수있는 방식으로

여기서

이라고 가정합니다.

ㅏ 엑스 = (\begin{matrix} ㅏ_{1} (1) & ㅏ_{2} (1) & \dots & ㅏ_{엔} (1) \\ ㅏ_{1} (2) & ㅏ_{2} (2) & \dots & ㅏ_{엔} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ ㅏ_{1} (미디엄) & ㅏ_{2} (미디엄) & \dots & ㅏ_{엔} (미디엄) \end{matrix}) (\begin{matrix} 엑스 (1) \\ 엑스 (2) \\ ⋮ \\ 엑스 (엔) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 비 (1) \\ 비 (2) \\ ⋮ \\ 비 (미디엄) \end{matrix}) \begin{matrix} 모드 디_{1} \\ 모드 디_{2} \\ ⋮ \\ 모드 디_{미디엄} \end{matrix} = 비

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

마지막으로 중요한 것은 $x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ 시스템을 거의 대각선으로 다시 작성하려면 (다른 중간 단계가 필요하지만 직관적 인 그림을 제공해야합니다).

$H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— 후안 베르 메호 베가
소스

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$I_m$ $\chi \in G^*$

$n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

$H$ $H^*$ $K$

$n$

— WJ eng
소스