P 또는 BPP에 문제가있는 주요 이유

최근 물리학 자와 이야기 할 때, 경험상 기하 급수적으로 시간이 걸리는 것처럼 보이는 문제가 P 나 BPP에있는 것으로 판명 될 때 감소가 발생하는 "주요 이유"는 일반적으로 식별 될 수 있다고 주장했다. --- 거의 항상, 그 이유는 12 명 이하의 "정상 용의자"목록에 속합니다 (예 : 동적 프로그래밍, 선형 대수 ...). 그러나 그런 생각이 들었습니다. 실제로 그러한 이유를 알기 쉽게 작성할 수 있습니까? 다음은 첫 번째, 불완전한 시도입니다.

(0) 수학적 특성. 문제는 불명확 한 "순수하게 수학적인"특성을 가지고 있는데, 일단 알려진 후에는 poly (n) 가능성 목록을 철저히 검색 할 수 있습니다. 예 : 그래프 평면성 (planarity) : O (n ⁶ ) 알고리즘은 Kuratowski의 정리에서 따릅니다.

( "평면"이 아래에 지적한 바와 같이, 이것은 나쁜 예입니다. 평면성의 조합 특성을 알고도 다항식 시간 알고리즘을 제공하는 것은 여전히 ​​사소하지 않습니다. 그래서 여기서 더 좋은 예를 대체하겠습니다 : 어떻게? "이진수로 작성된 입력 n이 주어지면, n 개의 구멍으로 표면에 임베드 된 임의의 맵에 색을 입히는 데 필요한 색상 수를 계산하십시오." 그러나 답을 제공하는 알려진 공식이 있으며 일단 공식을 알고 나면 다항식 시간으로 계산하는 것이 쉽지 않지만 "미성년자를 배제하는 법 / Robertson-Seymour 이론을 줄이십시오"는 아마도 무언가가 가능한 이유에 대한 별도의 중요한 이유로 추가되어야 할 것입니다 P.)

어쨌든, 이것은 특히 가장 관심있는 상황이 아닙니다 .

(1) 동적 프로그래밍. 지수 블로우 업없이 재귀 솔루션을 가능하게하는 방식으로 문제를 해결할 수 있습니다. 종종 충족되어야하는 제약 조건이 선형 또는 다른 간단한 순서로 정렬되기 때문입니다. "순전히 조합"; 대수적 구조가 필요하지 않습니다. 틀림없이 그래프 도달 가능성 (따라서 2SAT)은 특별한 경우입니다.

(2) 마트 로이드. 문제는 탐욕스러운 알고리즘이 작동하도록하는 matroid 구조를 가지고 있습니다. 예 : 일치하는 최소 스패닝 트리

(3) 선형 대수. 선형 시스템을 해결하고, 결정자를 계산하고, 고유 값을 계산하는 등의 문제를 줄일 수 있습니다. Valiant의 matchgate 형식주의로 해결할 수있는 문제를 포함하여 "기적적인 취소"와 관련된 대부분의 문제도 선형 대수 우산에 속합니다.

(4) 볼록 함. 문제는 일종의 볼록 최적화로 표현 될 수 있습니다. 준정의 프로그래밍, 선형 프로그래밍 및 제로섬 게임은 일반적으로 (증가하는) 특수한 경우입니다.

(5) 다항식 아이덴티티 테스트. 대수의 항등식 확인으로 문제를 줄일 수 있으므로 대수의 기본 정리 (The Fundamental Theorem of Algebra)는 효율적인 무작위 알고리즘을 만들 수 있으며, 경우에 따라 우선 순위와 같이 확실하게 결정적인 알고리즘을 만들 수 있습니다.

(6) Markov Chain 몬테 카를로. 빠르게 혼합되는 보행의 결과에서 샘플링으로 문제를 줄일 수 있습니다. (예 : 대략 완전 일치 횟수 계산)

(7) 유클리드 알고리즘. GCD, 계속되는 분수 ...

기타 / 정확히 분류하는 방법이 명확하지 않음 : 안정적인 결혼, 다항식 인수 분해, 순열 그룹의 구성원 문제, 숫자 이론 및 그룹 이론의 다양한 기타 문제, 저 차원 격자 문제 ...

내 질문은 : 내가 빠뜨린 가장 중요한 것은 무엇입니까?

명확히하기 위해 :

• 나는 목록이 완성 될 수는 없다는 것을 알고 있습니다. 유한 한 이유가 무엇이든간에 누군가 는 P에 있지만 이국적인 이유가 아닌 이국적인 문제를 찾을 수 있습니다. 이러한 이유로 부분적으로, 나는 하나의 문제에 대해서만 작동하는 아이디어보다는 P 또는 BPP에 서로 다른, 관련이없는 것처럼 보이는 많은 문제를 제기하는 아이디어에 더 관심이 있습니다.

• 또한 사물을 나누는 방법이 주관적이라는 것도 알고 있습니다. 예를 들어, matroids는 특별한 동적 프로그래밍 사례일까요? 깊이 우선 검색에 의한 해결 가능성은 동적 프로그래밍과 별도로 자체 이유가 될만큼 중요합니까? 또한 여러 가지 이유로 P에서 동일한 문제가 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 주요 고유 값 찾기는 선형 대수 때문에 P에 있지만 볼록 최적화 문제이기 때문입니다.

간단히 말해서, 나는 "분류 정리"를 기대하지 않고있다. 우리가 현재 효율적인 알고리즘에 대해 알고있는 것을 유용하게 반영하는리스트 일 뿐이다. 그렇기 때문에 가장 관심있는 것은 P 또는 BPP에 광범위하게 적용 할 수 있지만 위의 목록에 맞지 않는 것들을 기술하는 것입니다 . 물리학 자.

일부 그래프 클래스는 모든 그래프 클래스에 대해 NP가 어려운 문제에 대해 다항식 시간 알고리즘을 허용 합니다. 예를 들어 완벽한 그래프의 경우 다항식 시간에서 가장 큰 독립 세트를 찾을 수 있습니다 (메모리를 조깅하기위한 주석에서 vzn 덕분에). 또한 제품 구성을 통해 상당히 다른 여러 CSP (예를 들어, 계층 적 분해로 해결되는 트리 구조 및 일반적으로 완벽한 일치로 해결되는 All-Different 제약 조건)에 대해 통일 된 설명이 가능합니다.

완벽한 그래프는 문제가되는 문제에 대한 반정의적인 프로그래밍 공식을 허용하므로 선형 적 대수 및 / 또는 볼록함에 속하기 때문에 "쉽다"고 주장 할 수 있습니다. 그러나, 나는 무슨 일이 일어나고 있는지 완전히 확신하지 못합니다.

• András Z. Salamon과 Peter G. Jeavons, 완벽한 제약은 다루기 쉽다 (CP 2008, LNCS 5202, 524–528). 도 : 10.1007 / 978-3-540-85958-1_35

• Meinolf Sellmann, 나무 구조 이진 제약 만족 문제 의 폴리 토프, CPAIOR 2008, LNCS 5015, 367–371. 도 : 10.1007 / 978-3-540-68155-7_39

Gil Kalai가 지적한 바와 같이, 마이너 클로즈드 클래스를 형성하는 그래프의 속성은 유한 한 금지 된 마이너 세트 ( 로버트슨-시모어 정리 ) 로 정의 할 수 있습니다 . Robertson과 Seymour의 또 다른 결과는 미성년자 존재 여부에 대한 테스트가 3 차 시간 안에 이루어질 수 있다는 것입니다. 이 둘은 다항식 알고리즘으로 연결되어 사소한 속성을 결정합니다.

• Neil Robertson과 PD Seymour, Graph Minors. XIII. 분리 된 경로 문제 , Journal of Combinatorial Theory, Series B 63 (1) 65–110, 1995. doi : 10.1006 / jctb.1995.1006

사소한 닫힌 그래프 속성의 한 가지 문제는 "작은"것입니다. 하나의 마이너도 제외하면 많은 그래프가 제외됩니다. 이것은 아마도 Robertson-Seymour 구조 분해가 작동하는 한 가지 이유 일 것입니다. 멋진 구조를 갖기에는 충분한 그래프가 거의 없습니다.

• Serguei Norine, Paul Seymour, Robin Thomas 및 Paul Wollan은 적절한 소규모 가족이 작습니다 (Journal of Combinatorial Theory, Series B 96 (5) 754–757, 2006). doi : 10.1016 / j.jctb.2006.01.006 ( 인쇄물 )

마이너 클로즈드 클래스를 넘어 가려는 한 가지 시도는 금지 된 하위 그래프 또는 금지 된 하위 그래프로 정의 된 클래스를 통하는 것입니다.

금지 된 하위 그래프 또는 유도 하위 그래프 의 유한 세트로 정의 된 그래프 속성 은 가능한 모든 하위 그래프를 검사하여 다항식 시간으로 결정할 수 있습니다.

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• Maria Chudnovsky와 Paul Seymour, 유도 된 하위 그래프 제외 , Combinatorics 2007 설문 조사, Cambridge University Press 99-119, ISBN 9780521698238. ( preprint )

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격자 기준 감소 (LLL 알고리즘). 이것은 효율적인 정수 다항식 인수 분해와 선형 합동 발생기의 파괴와 낮은 정도의 RSA와 같은 효율적인 암호화 알고리즘의 기초입니다. 어떤 의미에서는 유클리드 알고리즘을 특별한 경우로 볼 수 있습니다.

경계 치수의 Lenstra 정수 프로그래밍, Lenstra-Lenstra-Lovasz 알고리즘 및 관련 후속 알고리즘-경계 치수의 IP 문제에 대한 정수 솔루션 수에 대한 Barvinok의 알고리즘 및 Frobenius / Sylvester 문제에 대한 Kannan의 P- 알고리즘을 다음과 같이 추가 할 수 있습니다. 특별 카테고리. 여기서 주목할만한 공개 문제는 Presburger Hierarchy에서 고차 문제에 대한 P- 알고리즘을 찾는 것입니다.

언급 할 가치가있는 또 다른 P- 알고리즘 클래스는 무작위 증거에 의해 존재하는 것으로 입증 된 객체에 주어진 P- 알고리즘입니다. 예 : Lovasz-Local Lemma의 적용을위한 알고리즘; 알고리즘 버전의 스펜서 불일치 결과; Szemeredi 규칙 성 정리의 알고리즘 버전 (약간 다른 맛).

다항식 시간 알고리즘이있는 고정 템플릿 제약 조건 만족 문제의 클래스에 대한 크고 여전히 이론이 많이 있습니다. 이 작업의 대부분은 Hobby and MacKenzie 서적 의 숙달을 요구 하지만 운 좋게도 보편적 대수학보다 컴퓨터 과학에 더 관심이있는 사람들에게는이 이론의 일부가 TCS 청중이 접근 할 수있을 정도로 단순화되었습니다.

$\Gamma$$S$$T$$\Gamma$$S$$T$

$\Gamma$$k \ge 3$$k$$\Gamma$$(0,0,\dots,0)$$S$$0$$T$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$; 이것은 실제로 문제의 클래스가 제약 솔버가 고려한 연속적으로 간단한 하위 문제를 모두 포함하므로 제약 해결 프로세스는 "쉬운"문제를 해결하면서 "하드"중간 인스턴스를 생성하지 않도록합니다.

$\Gamma$$\Gamma$

현재까지의 결과는 위의 예와 같이 이러한 문제를 각 관계에서 일정한 튜플을 갖는 문제로 바꿀 수있는 기본 도달 가능성 상태 공간에 대한 일종의 일반적인 전원 변환이 있어야 함을 나타냅니다. (이것은 지속적인 연구의 내 개인적인 해석 잘 완전히 잘못 될 수있다 순환 조건 대수위한 알고리즘에 대한 지속적인 검색이 냄비로 토사를 씻는 방법에 따라, 그래서 나는이를 철회 할 수있는 권리를 보유합니다.) 그것은이 때 것으로 알려져있다 외설 't 이러한 변환은 다음 문제는 NP-완료된다. 이분법 추측의 경계는 현재이 격차를 좁히는 것을 포함한다. 대수 및 CSP에 관한 2011 워크숍에서 열린 문제 목록을 참조하십시오 .

두 경우 모두 Scott의 목록에 항목이 있어야합니다.

PTIME의 두 번째 클래스를 사용하면 솔루션을 찾거나 솔루션을 찾을 수 없을 때까지 로컬 일관성 기술을 사용하여 가능한 솔루션을 정리할 수 있습니다. 이것은 본질적으로 대부분의 사람들이 스도쿠 문제를 해결하는 방식의 정교한 버전입니다. 나는이 이유가 현재 Scott의 목록에도 있다고 생각하지 않습니다.

$\Gamma$

마지막으로, 무한 도메인의 경우 Manuel Bodirsky가 시작한 흥미로운 작업도 많이 있습니다. 일부 알고리즘은 매우 이상하게 보이며 결과적으로 Scott의 목록에 더 많은 항목이 생성 될 수 있습니다.

찬드라 (Chandra)는이를 언급하지만 LP 이완의 구조 (예 : 총 단일 모듈성)는 다형성으로 이어지는 "구조"의 보편적 인 형태라고 생각합니다. 그것은 많은 종류의 폴리 시간 알고리즘을 설명합니다. 약속 문제가 포함 된 경우 큰 근사 알고리즘도 설명합니다. LP 및 / 또는 SDP에서 따르지 않는 가장 빈번한 이유는 가우시안 제거 및 동적 프로그래밍입니다. 물론 간단한 설명이없는 홀로그램 알고리즘과 같은 다른 것들도 있습니다.