이동 된 최대 값을 찾기위한 선형 시간 알고리즘

음이 아닌 정수를 포함 하는 배열 이 주어 졌다고 가정합니다 (반드시 구별되지는 않음).$A[1..n]$

증가하지 않는 순서로 를 하자 . 를 계산하려고합니다 $B$$A$

확실한 해결책은 A를 정렬 한$A$ 다음 m 을 계산하는 것 입니다$m$ . 최악의 경우 O (n \ lg n) 시간에 실행되는 알고리즘을 제공합니다 $O(n \lg n)$.

더 잘할 수 있습니까? 선형 시간으로 $m$ 을 계산할 수 있습니까 ?

내 주요 질문은 위의 질문입니다. 그러나 다음과 같은 문제의 일반화에 대해 아는 것이 흥미로울 것입니다.

하자 $B$ 될 일부 비교 오라클에 따라 정렬 \ 당량 및 f를 오라클 주어진 기능. \ leq 및 f에 대한 A 와 oracles가 주어지면 m = \ max_ {i \ in [n]} f (B [i], i) 계산에 필요한 시간에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?$A$$\leq$$f$$A$$\leq$$f$$m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$

여전히 O (n \ lg n) 시간으로 $m$ 을 계산할 수 있습니다 . 그러나이 일반화 된 사례에 대해 초 선형 하한을 증명할 수 있습니까?$O(n \lg n)$

대답이 '예'이면 가 정수의 일반적인 순서이고 가 "좋은"함수 (모노톤, 다항식, 선형 등) 라고 가정하면 하한값은 유지 됩니까?$\leq$$f$

선형 시간으로 을 계산할 수 있습니다 .$m$

간단히하기 위해 배열이 0 기반이라고 가정합니다 : , . 를 계산하려고합니다 .$A[0..n-1]$$B[0..n-1]$$m = \max_i B[i]+i$

하자 . 분명히 입니다.$max = \max_i A[i]$$max \leq m$

하자 될 정렬 한 후. 만약 우리가 $A[j]$$B[k]$$A[j] \leq max - n$

그러므로 우리는 무시해 때 . 범위의 숫자 만 고려하면됩니다 .$A[j]$$A[j] \leq max - n$$[max-n, max]$

계수 정렬을 사용하여 선형 시간으로 범위에있는 의 숫자를 정렬 하고 정렬 된 목록을 사용하여 을 계산할 수 있습니다.$A$$[max-n, max]$$m$

어레이의 경우 다른 정수로 구성하고 에 인접 엔트리 사이의 거리 때문에 최소 인 ; 상황이 명확하지 않아도 더 흥미 롭습니다.$A$$m = \max(A) + 1$$B$$1$

더 일반적인 질문으로, 때 가 "관심있는" 상황을 상상해보십시오 . 알기 전에 모든 대해 를 쿼리하도록하는 적대적인 인수를 구성하는 것이 가능 하므로 를 정렬해야 합니다. 비교 가 필요한 답을 찾으십시오 . ( 를 쿼리하여 선형 시간이 아닌 상수로 인지 테스트 할 수 있기 때문에 약간의 문제가있을 수 있습니다 .) 는 (고도) 다항식입니다.$f(B[i],j)$$i = j$$f(B[i],i)$$i$$\max_i f(B[i],i)$$A$$\Omega(n\log n)$$A[i] = B[j]$$f(A[i],j)$$f$