언어를 생성하는 가장 작은 부울 회로

길이가 인 이진 문자열의 비어 있지 않은 언어 을 고려하십시오 . I는 설명 할 수 부울 회로와 와 입력과 하나 개의 출력되도록 에만 true 인 이 공지이다.$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

그러나 출력을 가진 부울 회로 와 과 같은 특정 수의 입력으로 을 표현하고 싶습니다. 따라서 가능한 입력 각각에 대한 의 출력 값 세트 가 정확히 입니다.$L$$C'$$n$ $m$C ' 2 분$C'$$2^m$$L$

주어지면 최소 크기 의 회로 를 어떻게 찾을 수 있으며 복잡성은 무엇입니까? 알려진 첫 번째 종류의 회로 크기 ( )와이 두 번째 종류의 회로 ( ) 크기에 대한 알려진 경계 또는 관계 를 찾는 복잡성 사이에 어떤 관계가 있습니까?L C ' C C $L$$C'$$C$$C'$

(다음과 같은 의미에서 어떤 종류의 이중성이 있음을 확인하십시오 주어지면 회로를 평가하여 입력 단어 가 에 있는지 쉽게 결정할 수 있지만 일반적으로 하여 단어를 찾는 것은 NP-hard입니다. C ' 라고 가정 하면 할당이 를 출력으로 산출하는지 확인해야하기 때문에 일부 입력 단어 w 가 L 에 있는지 여부를 결정하는 것은 NP-hard 와 비슷하지만 일부 단어를 쉽게 찾을 수 있습니다. 임의의 입력에서 회로를 평가하여 ).C w L L $C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

비 결정적 회로에 대한 간단한 연결을 지적하고 암호화 경도에 대해 간단히 언급합니다.

용 S ⊆ { 0 , 1 } n은 상기 정의 된 이미지의 복잡도를 붙이고 난 해요 C ( S가 ) 모든 (FANIN 개의, AND / OR / NOT) 부울 회로의 게이트의 최소 개수로, C : { 0 , 1 } m → { 0 , 1 } n 의 이미지는 S 입니다. 문제는 계산의 복잡성에 대해 문의 나 분 C ( S를 ) 의 진리 테이블 표현 주어진 $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$(길이 2 n 의 문자열 ).$2^n$

또한 정의하는 비 결정적 회로 복잡성 의 S 우리 나타내는 것, N이 C C ( S ) 최소 결정적 회로로서, C ( X , Y ) : { 0 , 1 } , N + m ' → { 0 , 1 } 정확하게 받아들이 S . 즉, 우리가 필요하다 C 그 X ∈ S IFF ∃ Y : C ( $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$, y ) = 1 입니다. 이는 불균일 한 클래스를 정의하는 데 사용되는 기본 개념이며, N P / P는 O를 패 Y : 모든 세트의 클래스 S = { S , N } N > 0 으로, S , N ⊆ { 0 , 1 } , N , 이되도록 N C C ( S , N ) ≤ P O L의 Y ( N ) .$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

내가 지적하고자하는 것은 i m c ( S ) = n c c ( S ) ± O ( n ) 입니다. 이 불평등의 두 방향은 검증하기 간단합니다. $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

d c c ( S ) 가 결정적 회로 복잡도를 나타내도록 하자 . Dai Le가 언급 한 논문은 Razborov-Rudich를 사용하여 특정 암호 가정에서 S의 진리표 를 d c 와 구별하기가 어렵다는 것을 보여줍니다 (대략 여기에서 말하기).$dcc(S)$$S$ C ( S ) 진정으로 임의의 진실 테이블에서 작은, S ( d c c ( S )와 거의 동일). 랜덤 S 는 또한거의 최대 인 n c c ( S )를 가지며, 물론 우리는$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$n c c ( f ) ≤ d c c ( f ) . 따라서 귀하의 문제는 동일한 가정하에 어렵습니다.$ncc(f) \leq dcc(f)$

S , d c c ( S ) 또는 n c c ( S )에 대한 진리표가 주어지면 계산하기가 더 어려운 것은 무엇입니까? 어느 쪽이든 축소가 있습니까? 모르겠어요$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Kabanets와 Cai 의이 논문 을 살펴보아야 합니다. 나는 논문의 초록을 인용 할 것이다 :

회로 최소화 문제의 복잡성을 연구합니다. 부울 함수 f 와 매개 변수 s 의 진리표가 주어지면, 최대 s 크기의 부울 회로로 f 를 실현할 수 있는지 여부를 결정합니다 . 우리는 왜이 문제가 P (혹은 P) 에도 없을 가능성이 높다고 주장합니다$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$ / P 오 리터의 Y 이러한 가정의 놀라운 결과들을 제공함으로써). 우리는 또한이 문제를 N- P- 완료 로 증명하는 것이 (실제로 사실이라면)현재 알려진 기술을 넘어선클래스 E에 대해 강한 회로 하한을 증명할 것이라고 주장한다.$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

회로이지만 C ' 는로 계산을 함수 언급 F를 : { 0 , 1 } m → L은 , 우리는 회로의 시퀀스로서 생각할 수 C ' (1) , C ' (2) , ... , C ' , N , C는 " 나는 계산 I t의 시간 출력 비트 F . 각 이므로$C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$ C ' i 는 부울 함수 { 0 , 1 } m을 계산하므로$C'_i$→ { 0 , 1 } , 회로의 최소화 C를 ' 나는 상기 결과에있어서 하드 보인다.$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$