충분히 큰 치수의 아핀 부분 공간에서 일정하지 않은 부울 함수

명시 적 부울 함수 f에 관심이 있습니다 .$f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$ 가 일부 아핀 부분 공간에서 상수 인 경우$f$ ,이 부분 공간의 차원은 o ( n ) 입니다.$\\{0,1\\}^n$$o(n)$

부분 공간 $A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$. 모든 는 정확히 n / 2 1 이므로 f 는 차원 n / 2 의 부분 공간 A 입니다 .$x \in A$$n/2$ $1$$f$$A$$n/2$

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검색 대상 을 하나의 출력 비트가있는 시드리스 아핀 분산기 라고 합니다. 보다 일반적으로, 가족을위한 하나의 출력 비트와 씨앗 분산기 의 서브 세트는 { 0 , 1 } N 함수 F : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } 와 같은 그 어떤 서브 세트 S ∈ F 의 함수 f 는 일정하지 않습니다. 여기, F 는 아핀 부분 공간의 패밀리가되고 싶습니다.$\mathcal{F}$$\{0,1\}^n$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$S \in \mathcal{F}$$f$$\mathcal{F}$

벤 사손 및 "서브 스페이스 다항식으로부터 아핀 분산기"에 Kopparty는 명시 차원의 부분 공간에 대해 적어도 씨앗 아핀 분산기를 구성하는 . 분산기의 전체 세부 사항은 여기에 설명하기에는 너무 복잡합니다. $6n^{4/5}$

우리가 차원의 부분 공간에 대한 아핀 분산기 할 때 또한 논문에서 논의 간단한 경우는 . 그런 다음 구성은 F n 2 를 F 2 n으로 보고 분산기를 f ( x ) = T r ( x 7 )로 지정합니다 . 여기서 T r : F 2 n → F 2 는 추적 맵을 나타냅니다. T r ( x ) = ∑ $2n/5+10$${\mathbb{F}}_2^n$${\mathbb{F}}_{2^n}$$f(x) = Tr(x^7)$$Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$. 키의 속성추적지도, 즉T의R(X+Y)=T, R(X)+T, R(Y). $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$$Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

원하는 것과 비슷한 (그러나 훨씬 약한) 것을 만족시키는 함수는 에 대한 행렬의 결정입니다 . n × n 행렬 의 결정자는 적어도 n 2 - n 차원의 임의의 아핀 부분 공간에서 일정하지 않음을 알 수있다 .$\mathbb{F}_2$$n\times n$$n^2 - n$