문제의 정확한 복잡성

허락하다 $x_i \in \{-1,0,+1\}$ ...에 대한 $i \in \{1,\ldots,n\}$, 약속으로 $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (합이 끝난 곳 $\mathbb{Z}$). 그렇다면 결정의 복잡성은 무엇입니까$x = 1$?

사소한 문제는 $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ 때문에 $x \equiv 1\bmod{m}$iff $x = 1$ 입니다. 질문은 : 문제가 $\mathsf{AC}^0$ 있습니까? 그렇다면 회로가 이것을 목격하는 것은 무엇입니까? 그렇지 않다면 어떻게 증명합니까?

일반적인 스위칭 lemma 인수를 사용할 수 있습니다. 입력을 이진수로 표현하는 방법을 설명하지 않았지만 합리적인 인코딩 하에서 다음 함수는 AC . 함수와 같습니다. (우리는 이 짝수 라고 가정합니다 .) 이 강의 노트에 따르면 , 는 크기 의 깊이 회로에 의해 계산 될 수 있다고 가정하십시오 . 그런 다음 입력 의 임의 제한으로 인해 의사 결정 트리 복잡성 기능이 최대로 유지됩니다.$^0$

$$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$$ $n$$f$$d$$n^b$$n - n^{1/2^d}$$2^d(b+1)+1$ 확률 적어도 . 계산은 아마도이 다른 인스턴스임을 보여줄 것이다 확률 (작은 입력 크기) 등 어느 수율 인스턴스 모두 어떤 임의의 제한이 에 입력과 지속적인 의사 결정 트리 복잡성을 가진 기능으로 모순이 발생합니다. 동일한 인수로 지수 하한을 산출해야합니다.$1-1/(3n)$$f$$\Theta(1/\sqrt{n})$$f$$n^{1/2^d}$

나는 이것이 AC0에 있다고 생각하지 않으며 일 때 과 를 구별하는 관련 약속 문제에 대한 하한을 표시 할 수 있습니다 . 비슷한 푸리에 기술이 귀하의 문제에 적용되어야하지만, 나는 그것을 확인하지 못했습니다. 또는 간단한 축소가있을 수 있습니다.$\sum x_i = 0$$\sum x_i = 2$$x \in \{-1, 1\}^n$

가정 크기가 의 깊이 함수 연산 회로 되도록 마다 . 때문에 임의 대한 , 확률 이고 , 각 예에 대해 존재 값 변경 좌표 , 총 영향 이다$s$$d$$f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$$f(x) = \sum_i x_i$$\sum_i x_i \in \{0,2\}$$x$$\sum_i x_i = 0$$2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$$x$$n/2$$f$$f$$\Omega(n^{1/2})$(대부분의 민감한 입력을 대부분 포함했기 때문에) 대다수와 거의 동일합니다. Hastad의 정리에 따르면 (Ryan O'Donnel의 노트 에서 Colorraly 2.5 참조 ), 이것은

$$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$$