하이퍼도 크린 및 모나 딕 2 차 논리

이 질문은 본질적 질문 내가 Mathoverflow에 물었다.

MSO (Monodic Second Order) 논리는 단항 술어에 대한 수량 화가있는 2 차 논리입니다. 즉, 세트에 대한 수량화입니다. 컴퓨터 과학에서 연구 한 구조의 기초가되는 몇 가지 MSO 논리가 있습니다.

질문 1. Monadic 2 차 논리에 대한 범주 적 의미론이 있습니까?

질문 2. 범주 논리의 처리는 종종 "고차 직관 논리"에 대해 이야기합니다. 그들이 2 차 술어에 대한 정량화보다는 고차 함수를 참조한다고 가정 할 권리가 있습니까?

질문 3. (Neel의 답변 이후 2013 년 11 월 8 일 추가됨) 1 차 정량화에 대한 나의 이해 (아래 언급 된 피트의 표현 측면에서)는 투영 모 폴리 즘 의 풀백 에 대해 정의된다는 것입니다. . 특히 범용 정량화는 의 오른쪽 인접 부호로 해석되고 실존 적 정량화는 의 왼쪽 인접 부호로 해석됩니다 . 이러한 인접 항목은 일부 조건을 만족해야하며, 때로는 Beck-Chevalley 및 Frobenius-Reciprocity 조건이라고도합니다. $\pi^*$ $\pi$ $\pi^*$ $\pi^*$

이제 술어에 대해 정량화하려면 내가 직교 폐쇄 범주에 있다고 가정 합니다. 아래 는 이전과 다른 구조를 제외하고 그림이 거의 동일 합니다. $X$

\exists_{나는, 엑스}, \forall_{나는, 엑스} : 피_{씨} (나는 \times 엑스) \to 피_{씨} (나는)

$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$

맞습니까?

나는 나의 정신 차단이 이전에 일차 하이퍼도 크린을 다루고 있었기 때문에 카테고리를 직교 폐쇄 할 필요가 없었으며 나중에 고려하지 않았기 때문이라고 생각합니다.

배경과 맥락. Andy Pitts가 컴퓨터 과학 기사 에서 Logic의 Handbook 기사 에서 범주 논리를 제시 하고 있었지만, 박사 논문에서 Tripos 이론의 치료법과 Awodey와 Bauer의 메모에 대해서도 잘 알고 있습니다. 나는 Lamble과 Scott 의 Crole 's Categories for Types 와 책 을 공부하기 시작 했지만 마지막 두 텍스트를 참고 한 지 오래되었습니다.

동기 부여를 위해 아래의 정리에 나타나는 MSO 논리의 종류에 관심이 있습니다. 나는 이것들 중 하나와 표현 적으로 동등한 논리를 다루고 싶지 않습니다. 즉, 고차 함수 측면에서 모나드 술어를 인코딩하고 다른 논리를 처리하고 싶지 않지만 후드 아래에서 그러한 인코딩을 포함하는 의미론을 연구하게되어 기쁩니다.

(Buechi and Elgot Theorem) 구조의 우주가 유한 알파벳 이상의 유한 단어 인 경우, 연속 위치를 표현하는 해석 된 술어를 사용하여 MSO에서 언어를 정의 할 수있는 경우 언어는 정확히 규칙적입니다.
(Buechi 's Theor) 구조의 우주가 유한 알파벳보다 단어 인 경우, 적절한 해석 된 술어를 사용하여 MSO에서 정의 할 수 있는 언어는 정확히 입니다. $\omega$ $\omega$
(Thatcher and Wright Theorem) 유한 트리 세트는 해석 된 술어를 사용하여 MSO에서 정의 할 수있는 경우 상향식 유한 트리 오토 마톤으로 정확하게 인식 할 수 있습니다.
WS1S 는 1 명의 후계자에 대한 약한 모나 딕 2 차 이론입니다. 수식은 자연수 세트를 정의하고 2 차 변수는 유한 세트로만 해석 될 수 있습니다. WS1S는 자연수의 튜플을 유한 단어로 인코딩하여 유한 오토마타에 의해 결정될 수 있습니다.
(라빈의 정리) S2S 는 두 명의 후계자에 대한 2 차 이론입니다. S2S는 Rabin automata에 의해 결정될 수 있습니다.

lo.logic ct.category-theory

— 비제이 D
소스

몰라요!
아닙니다, 당신의 가정은 옳지 않습니다. IHOL에서 고차 함수 및 술어를 수량화 할 수 있습니다 (사실 술어는 제안 유형의 함수일뿐입니다). 설정은 다음과 같습니다.

$\begin{array}{llcl} 종류 & ω & :: = & ω \to ω | ω \times ω | 1 | 피 아르 자형 영형 피 | ι \\ 기간 & 티 & :: = & 엑스 | λ 엑스 . 티 | 티 티^{'} | (티, 티) | π_{1} (티) | π_{2} (티) | () \\ | & 피 \Rightarrow 큐 | ⊤ | 피 \land 큐 | ⊥ | 피 \lor 큐 \\ | & \forall 엑스 : ω . 피 | \exists 엑스 : ω . 피 | 티 =_{ω} 티^{'} \\ | & 에프 (\vec{티}) \end{array}$ $\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$

용어의 올바른 형식을 판단하기 위해 일반적인 타이핑 규칙을 제공합니다. 첫 번째 용어는 일반적인 단순 유형 람다 미적분학이고, 두 번째 두 줄은 고차원 논리 ( 요소로 형식화 됨)의 제안 이며, 세 번째 줄은 개인을 형성하기 위해 사용하는 상수입니다. ( 요소 ). $\mathrm{prop}$ $\iota$

그런 다음 하이퍼도 크린 의미 체계를 추가 구조로 확장하여 1 차 직관 논리에 대한 Kripke 의미 체계를 고차 논리로 확장하려고합니다. 1 차 하이퍼도 크린은 functor (제품이 포함 된 카테고리 (문맥의 문맥을 해석하는 데 사용됨))와 포셋 카테고리 (진실 값 격자) ), 대체 작업을 올바르게하기위한 일부 조건을 만족합니다. $P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$ $C$

IHOL에 가려면 추가로 다음을 주장하십시오.

$C$ 는 직교 폐쇄 (함수 유형에 대한 정량화 능력을 모델링하기 위해)
$C$ 에는 모든 , 속성을 만족 하는 내부 Heyting 대수 가 있습니다 . 를 사용 하여 을 모델링 하고 동 형사상에서는 유형의 항이 실제로 진리 값과 일치 함을 알려줍니다 . $H$ $\Gamma \in C$ $\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$ $H$ $\mathrm{prop}$ $\mathrm{prop}$

이 구조는 거의 "기본 토포스"입니다. 당신이 추가로 요구할 경우 의 subojects의 poset입니다 , 당신은 거기에가있어. (이것은 본질적으로 논리에 이해 원칙을 추가 할 수 있다고 말합니다.) $P(\Gamma)$ $\Gamma$

— 닐 크리슈나 스와미
소스