음이 아닌 정수의 선형 디오 판틴 방정식

음이 아닌 정수로 선형 디오 판틴 방정식을 푸는 NP- 완전 문제에 대한 정보는 거의 없습니다. 즉, 음이 아닌 을 방정식 모든 상수가 양수인 ? 내가 아는 유일한 문제는 Schrijver 's입니다. $x_1,x_2, ... , x_n$ $a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$ 선형 및 정수 프로그래밍 이론 . 그리고 그때조차도 다소 간결한 토론입니다.

따라서이 문제에 관해 제공 할 수있는 정보 나 참고 자료를 대단히 높이 평가합니다.

내가 주로 신경 쓰는 두 가지 질문이 있습니다.

NP-Complete입니까?
솔루션 수를 계산하는 관련 문제가 # P-hard 또는 심지어 # P-complete입니까?

— 4evergr8ful
소스

이것은 실제로 연구 수준의 질문이 아니며 더 많은 정보를 찾지 못했다고 믿기가 어렵습니다. 여기에서 시작 : en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

— domotorp

2) afaik의 경우 자연 계수 버전이 # P-complete가 아닌 NP-complete 문제의 알려진 예는 없습니다. 특정 문제에 대한 끔찍한 감소를 찾는 것이 참조를 찾는 것보다 쉬울 수 있습니다. 이 논문은 밀접하게 관련 #SubsetSum 위해 작업을 수행합니다 crt.umontreal.ca/~gerardo/tsppd-p-complete.pdf

— Sasho 니콜 로프에게

좀 더 많은 시민권을 얻으려면 @domotorp와 4evergr8ful을 모두 문의하십시오. 첫 번째는 배낭 문제가 어떻게 Diophantine 방정식으로 어떻게 감소하는지 설명 할 수 있었으며, 이는 그가 생각하는 것처럼 보이지만 4evergr8ful은 아마도 도움을 요청 하고이 포럼의 작업에서 분명히 경험하지 못했기 때문에 식을 수 있습니다. . 그러나 나는 배낭 문제에 대해서도 생각했고, 그것이 Diophantine 방정식의 긍정적 인 해결책으로 환원된다는 것이 전혀 분명하지 않습니다.

— Andrej Bauer

@Austin이 언급했듯이 OP

가 다항식에 묶여 있을 때 다항식 시간에 문제를 해결하기 위해 배낭과 동일한 동적 프로그램 아이디어가 작동합니다 . 따라서 아닙니다. 문제는 np- 완전하지 않습니다. domotorp는 배낭 위키 페이지를 가리킬만한 충분한 이유가있었습니다.

a_{i}

$a_i$

— Sasho Nikolov

@ 4evergr8ful 물론, 나는 당신이 견적을 해석했다고 가정했다. 괜찮습니다. 그러나 "6"을 "모두"로 변경하여 잘못 인용했습니다. G & J가 비유 의적이라고 정의하기 때문에 (즉, 솔루션의 수는 정확히 동일 함) NP의 문제 사이의 모든 감소가 비유의적일 수 있다는 것은 사실이 아닙니다. P = Parity-P. 그 이유는 SAT에서 NAE-SAT 로의 표준 감소가 2의 거듭 제곱 인 요소를 도입하기 때문입니다. 이는 Parity-P에 대해 SAT가 완벽하지만 NAE-SAT는 쉽지 않기 때문입니다. 대입은 항상 짝수 = 0)입니다.

— 타이슨 윌리엄스

답변:

문제가 추론 한 CF에서 강하게 NP-어려운 일이 아니다 (1)에 관해서는 여기 :

CH, 파파 디미트리 우 (1981). 정수 프로그래밍의 복잡성 ACM 저널 , 28 (4), 765-768.

$x_i$

Faliszewski, P. and Hemaspaandra, L. (2009). 검정력 비교의 복잡성. 이론적 컴퓨터 과학 410 (1), 101-107.

$x_i\in \{0,1\}$

— 크리스토프 하세
소스

나는 이것에 대해 전혀 전문가가 아니지만 건설적인 토론을 시작하고 싶습니다. math.stackexchange.com 질문에 근거한 시도입니다. 입니다. 선형 디오 판틴 방정식에 대한 양의 해 수를 세십시오 . 물건은 Erhart 다항식과 관련이 있으며, 나는 전혀 모른다. 그리고 위의 @SashoNikolov의 의견도 생각한다.

밝히다 $N(a_1, a_2, \ldots, a_n; b)$ Diophantine 방정식의 음이 아닌 해의 수

ㅏ_{엔} {엑스}_{엔} + ㅏ_{엔 - 1} {엑스}_{엔 - 1} + \dots + ㅏ_{1} {엑스}_{1} = 비,

$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x_1 = b,$ 어디서 계수

a_{i}

$a_i$ 긍정적이고

b

$b$ is non-negative. If I am getting my recursions right, then we have

N (a_{1}; b) = {\begin{cases} 1 & if a_{1} ∣ b \\ 0 & otherwise \end{cases}

$N(a_1; b) = \begin{cases} 1 & \text{if $a_1 \mid b$} \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ and

N (a_{1}, \dots, a_{n + 1}; b) = \sum_{0 \leq k \leq b / a_{n + 1}} N (a_{1}, \dots, a_{n}; b - a_{n + 1} k)

$N(a_1, \ldots, a_{n+1}; b) = \sum_{0 \leq \ k \ \leq b/a_{n+1}} N(a_1, \ldots, a_n; b - a_{n+1} k)$ Now, the sum is a bit long (measured in terms of the length of the input), but we might hope to find a better way of computing it than to actually run through all the

k

$k$ 's. We know it's going to be a polynomial in

b

$b$ , but I do not see how to compute the polynomial fast enough.

— Andrej Bauer
소스

Dear Andrej, in case of strong NP-hardness, we measure in terms of the value of the input and not in the length of it. See also: en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming

— domotorp

@domotorp, Andrej는 강력한 NP- 완료성에 관한 첫 번째가 아니라 # P- 완전성에 관한 두 번째 질문을 다루고 있다고 생각합니다. -완전한). 안드레이, 난 당신이 여기에 보여주고 싶은 것을 혼동하고 있습니까? 결정 문제는 NP-complete이므로 솔루션 수를 계산할 수는 없습니다. 솔루션 수를 대략적으로 바라고 있습니까? 아니면 지수보다 빠른 시간 알고리즘이 있습니까?

— 사쇼 니콜 로프

BTW, 나는이 논문의 알고리즘 (동적 프로그래밍을 통한 배낭에 대한 대략적인 수를 세는)이 디오 판틴 방정식 문제에 적응할 수있을 것으로 생각한다 : cs.utexas.edu/~klivans/focs11.pdf

— Sasho Nikolov

이 문제에 대해 한 가지 더 사실을 배웠습니다. 세 종류의 사람들이 있습니다 : #linear diophantine problem이라고 부르는 사람들, #unbound knapsack problem이라고 부르는 사람들, 그리고 마침내 그것을 denumerant problem이라고 부르는 사람들. 그리고 그들은 서로 대화하지 않는 것 같습니다.

— 4evergr8ful