고 우어“비밀 화 된 Borel 결정 성”접근법

Gowers는 최근 회로 하한값을 증명하는 솔루션과 관련된 문제를 "비 분산 Borel 결정 성"이라고 부릅니다.

1. 복잡한 이론가들에게 적합한 접근법에 대한 요약을 제공 할 수 있습니까?

2. 알려진 하한을 다시 증명하는 것을 포함 하여이 접근법이 무엇 을 증명하는 데 무엇이 필요 할까요?

접근법의 동기에 대한 나의 이해를 요약 해 보겠습니다. 나는 Borel 결정의 개념에 상당히 익숙하며, 집합 이론의 전문가가 아니라는 점에 유의하십시오. 모든 실수는 내 꺼야 또한 이것을 읽는 것이 Gowers의 게시물을 읽는 것보다 훨씬 낫다는 것을 확신하지 못합니다.

Gowers가 생각하는 것은 Borel 결정론의 단순한 유사체가 아니라 다음과 같은 간단한 유사체라고 생각합니다. Borel 결정론은 ZFC에서 따릅니다. 분석 게임의 결정론은 (본질적으로) 측정 가능한 추기경이 필요합니다. 우리가 이야기하고있는 게임과 Borel 결정성에 대해 간략히 설명하겠습니다. 그런 다음 하한을 증명하는 접근 방식으로이를 연결합니다. 매우 높은 수준의 아이디어는이 속성을 "Porly를 NP와 분리 할 수있는 속성으로 작동하는 Borel 결정의 증거에 대한 간단한 유사성을 허용"하는 것입니다.

우리는 두 명의 플레이어 I와 II가 차례대로 정수를 "재생"하는 게임을 생각합니다. 그들은 일련의 생산, 그래서 게임은 영원히 계속 . 게임은 승리 세트 A ⊆ N N (즉, 시퀀스 세트)에 의해 정의됩니다 . 만약 X ∈ 다음 플레이어 내가 승리, 그렇지 않으면 플레이어 II 승리.$x= x_1, x_2, \ldots$$A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$

게임은 플레이어 I 또는 플레이어 II가 승리 전략을 가지고 있는지 여부를 결정합니다. 지금까지의 플레이를 기반으로 다음 움직임을 결정하여 승리를 보장합니다. 모든 게임이 결정되는지 여부는 세트 이론의 기초와 밀접한 관련이있는 것으로 판명되었습니다 (선택의 공리를 믿는다면 그렇지 않습니다). 어쨌든 게임이 실제로 결정되는 간단한 예는 N N 의 제품 토폴로지에서 가 열려있는 경우 입니다. 이는 회원 x ∈ A 가 유한 요소 수에 따라 결정될 수 있음을 나타내는 멋진 방법 입니다. $A$$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$x \in A$$x$. 예를 들어 짝수를 처음 타면 내가이기는 게임이 열려 있습니다. 결정된 게임의 또 다른 예는 단순한 폐쇄 게임, 즉 게임 인 한정된 시퀀스에 기초하여 결정될 수있다 (X) . 닫힌 게임은 플레이어의 역할이 반전 된 열린 게임입니다.$x \not \in A$$x$

이제 Borel 결정에 도달 할 수 있습니다. 그리고 이것을 회로와 복잡성으로 묶어 보려고합니다. Borel 세트는 셀 수있는 조합 및 교차점을 반복해서 적용하여 열린 세트와 닫힌 세트에서 파생 될 수있는 세트입니다. 개방형 및 폐쇄 형 세트를 기본 세트로, Borel 세트는 각 레벨에서 여러 레벨의 "작은"(= 계산 가능한) 수의 간단한 조작을 사용하여 기본 세트에서 파생 된 것으로 생각해야합니다. ZFC에서 Borel 세트가 결정되었음을 증명할 수 있으며 이것이 최선의 방법이라는 정확한 의미가 있습니다.

Gowers가 여기에서 생각하는 비유는 Borel 세트가 작은 회로와 같다는 것입니다. 유한 한 세계에서 "우주" 을 하이퍼 큐브 { 0 , 1 } n으로 바꿉니다 . 우리의 기본 세트는 큐브의면이 될 : { X ∈ { 0 , 1 } N : X 난 = B를 } 에 대해 (B) ∈ { 0 , 1 } ; 이러한 리터럴 등가 인 X I 및 ˉ X$\mathbb{N}^\mathbb{N}$$\{0,1\}^n$$\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$$b \in \{0,1\}$$x_i$$\bar{x}_i$. 리터럴의 AND 및 OR을 이러한 세트의 공용체 및 교차로 작성할 수 있습니다. 그래서, 부울 함수 , 생산할 수있는 f를 - 1 ( 1 ) 의 출력 (S)의 조합과 기본 세트의 교차하는 크기를 갖는 동등 의 회로 F를 .$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$$f^{-1}(1)$$s$$s$$f$

분석 세트에 대해 한마디 만하겠습니다. 분석 세트는 Borel 세트의 투영입니다. 가 Borel 세트 인 경우 T = { x : ∃ y ( x , y ) ∈ S } 는 분석입니다. Borel 세트와 작은 회로 복잡도 기능 간의 대응으로 분석 세트는 NP / poly와 같습니다.$S \subseteq X \times Y$$T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

이제 그는 Borel 결정 성 증명에서 영감을 얻어 작은 회로 복잡도의 기능과 큰 회로 복잡도의 기능을 구별하는 속성 (Razborov-Rudich 의미)을 생각해 냈습니다. 물론이 건물은 자연적인 증거 장벽을 피하기를 희망합니다.

모든 보렐 게임 맵에서 오픈 (사실 clopen에서) 게임의 이미지입니다 마틴 쇼 : 보렐의 determinacy의 마틴의 증거는 개념적으로 매우 깔끔한 방법 사용 수 있도록, $\pi$$\pi$이기는 전략을 유지합니다. 이것을 "리프트"라고하겠습니다. Martin이 보여주는 것은 각각의 Borel 게임은 우승 세트가 기본 세트 인 게임의 이미지라는 것입니다. 공개 게임은 쉽게 결정되는 것으로 보이므로 Borel 결정 성을 증명합니다. 증거는 귀납적이며, 기본 케이스는 닫힌 게임을 들어 올릴 수 있음을 보여줍니다. 중요한 부분은 유도의 각 단계가 우주를 "폭발"시키는 것입니다. Borel 세트 구성의 한 수준을 제거하려면 원래 게임의 우주의 힘 세트 인 우주를 넘어 게임으로 게임을 들어야합니다 . 흥미롭게도 이것은 피할 수 없습니다. 더 많은 레벨을 정의해야하는 Borel 세트는 훨씬 더 큰 우주에서 게임으로 들어 올릴 수 있습니다. 분석 세트에는 너무 큰 우주가 필요하므로 존재하기 위해서는 큰 기본 공리가 필요합니다.

이것으로부터 영감을 얻은 Gowers는 플레이어 I와 플레이어 II가 함께 지정해야하는 게임을 공식화합니다 . f ( x ) = 1 이면 플레이어 I이 이기고 그렇지 않으면 플레이어 II가 이깁니다. 플레이어 I는 좌표의 전반을 지정할 수 있고 플레이어 II는 후반을 지정할 수 있습니다. 직관은 이제 간단한 f에 해당하는 게임 , 즉 작은 회로 복잡성을 가진 f 는 Borel 게임처럼 마틴 스타일의 비교적 작은 우주로 들어 올려야한다는 것입니다. 반면에 임의의 f 는 두 배 지수 크기의 유니버스를 필요로하며 NP-hard f도 분석 게임에 해당하기 때문에 가능해야합니다.$x$$f(x) = 1$$f$$f$$f$$f$

$y \in U$$U$$2^n$$y$

$f$