감도가 블록 감도와 동일한 부울 함수

감도 대 블록 감도에 대한 일부 연구 는 가 보다 다 항적으로 더 크다는 추측을 해결하기 위해 와 사이에 가능한 한 큰 간격을 가진 함수를 조사하는 것을 목표로하고 있습니다. . 반대 방향은 어떻습니까? 함수에 대해 알려진 것은 무엇입니까 ?$s(f)$$bs(f)$$bs(f)$$s(f)$$s(f) = bs(f)$

분명히 상수 함수는 입니다. 또한 사소하게, 함수 에는 있습니다. 사소하지는 않지만 모노톤 함수가이 동등성을 만족한다는 것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다. 있는 다른 멋진 함수 클래스가 있습니까? 완전한 특성화가 이상적입니다. 요구 사항을 s ^ 0 (f) = bs ^ 0 (f) 및 s ^ 1 (f) = bs ^ 1 (f)로 더욱 강화하면 어떻게됩니까?$0=s(f)=bs(f)$$s(f) = n$$s(f) = bs(f)$$s(f) = bs(f)$$s^0(f) = bs^0(f)$$s^1(f) = bs^1(f)$

이 질문의 동기는 단순히 감도가 블록 감도와 어떤 관련이 있는지에 대한 직관을 얻는 것입니다.

정의

하자 $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$ 에있을 부울 함수 $n$ 비트 워드. 들면 $x \in \{0,1\}^n$ 및 $A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$ , 있도록 $x^A$ 나타내는 $n$ 로부터 얻은 비트 워드 $x$ 로 지정된 비트 젖혀 $A$ . 케이스 것을 $A = \{i\}$ 우리는 간단히이를 나타내는 것이다 $x^i$ .

우리는 정의 의 감도 $f$ 에서 $x$ 로 $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$ . 다시 말해, f 의 출력을 뒤집기 위해 뒤집을 수 있는 것은 $x$ 의 비트 수입니다 . 우리는 정의 감도 의 F 등 의 (F)를 = \ {텍스트 최대} _x들 (F, X) . $f$$f$$s(f) = \text{max}_x s(f,x)$

우리는 정의 의 블록 감도 $f$ 에서 $x$ (표시 $bs(f,x)$ 최대의 같은) $k$ 이산 집합이 존재하도록 $B_1, B_2, \ldots, B_k$ 의 $\{1,2,\ldots, n\}$ 이러한 즉 $f(x^{B_i}) \neq f(x)$ . 우리는 정의 블록 감도 의 $f$ 와 같은 $bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$ .

마지막으로, 우리는 정의 0 감도 의 와 같은 입니다. 우리는 각각 , 및 로 표시된 1-sensitivity , 0-block 감도 및 1-block 감도를 정의 합니다.$f$$s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$$s^1(f)$$bs^0(f)$$bs^1(f)$

최근 부울 연산자 AND, OR 및 EXOR를 통해 unate 함수 및 read-once 함수에 대해 s (f) = bs (f)임을 증명했으며 결과를 포함하는 논문이 TCS 2014에 승인되었습니다. ( http : // dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9 )

이 문제를 공격하고있을 수 있습니다. 그렇다면 유감스럽게 생각되지만 질문을 게시하기 전에 독립적으로 문제를 공격하기 시작했습니다. 2013 년 12 월 일본 국내 회의에서 제 논문의 예비 버전이 발표되었으며 제출 마감일은 2013 년 10 월입니다. ( http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/ )