그래프 동형 문제에 대한 준 다항식 시간 알고리즘의 결과

그래프 동형 문제 (GI)이 틀림위한 최상의 공지 후보 NP-중간 문제. 가장 잘 알려진 알고리즘은 런타임 . 다항식 계층 구조가붕괴되지 않는 한,GI는NP-완전하지않다는 것이 알려져있다.$2^{O(\sqrt{n \log n})}$$\mathsf{NP}$

Graph Isomorphism 문제에 대한 준 다항식 시간 알고리즘의 복잡한 이론적 결과는 무엇입니까?
GI에 대한 준 다항식 시간 알고리즘이 복잡한 이론에서 유명한 추측을 반박 할 것인가?

토너먼트의 최소 도미 네이션 세트 문제, 그룹 동 형사상 문제 및 토너먼트 동 형사상 문제와 같은 다른 유사한 문제에는 QP (Quasi-Ponomial Time ) 알고리즘이 있습니다. 후자의 두 가지 문제는 GI에 대한 다항식 시간 감소입니다.

토너먼트의 최소 도미 네이션 세트 문제를 GI로 효율적으로 줄일 수 있습니까?
QP에 어려운 GI를 배제하는 추측이 있습니까?

업데이트 (2015-12-14) : Babai는 GI에 대한 준 다항식 시간 알고리즘을 위해 arXiv에 예비 초안 을 게시했습니다 .

업데이트 (2017-01-04) : Babai 는 알고리즘이 준 다항식 시간이라는 주장을 철회 했습니다. 새로운 분석에 따르면 알고리즘이 지수가 아닌 시간 의 내부에2 N 개의 O ( 1 ) .$\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$$2^{n^{o(1)}}$

업데이트 (2017-01-09) : Babai 는 준 다 항적 시간 청구를 재개 하여 문제가되는 절차를보다 효율적인 것으로 교체했습니다.

내가 알 수있는 한, GI가 QP에 있다는 단순한 사실 (블랙 박스)의 결과에 대해 간단히 묻는다면 그 대답은 거의 없다고 생각합니다. 내가 생각할 수있는 것은 정리가 아니라 연구 방향의 결과 인 그룹 동 형사상이다. GroupIso는 GI로 줄어들고 GroupIso가 P에 있는지조차 알지 못하기 때문에 GroupIso를 P에 넣는 것은 GI를 P에 넣는 데 중요한 장애물로 간주 될 수 있습니다 (후자가 생각하는 경우).

$n^{\log n + O(1)}$$2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

$\varnothing$$\Sigma^*$

Graph Isomorphism 문제에 대한 준 다항식 시간 알고리즘의 복잡한 이론적 결과는 무엇입니까?

원시성 테스트를위한 결정 론적 다항식 시간 알고리즘, 선형 프로그래밍을위한 결정 론적 다항식 시간 알고리즘 및 실질적으로 효율적인 (무작위 화 된) 알고리즘 (알고리즘이 비효율적 인 희귀 한 병리학 적 예)이 알려진 다른 경우의 결과와 다소 비슷합니다. 오랫동안 사용하고 있습니다. 실용 효율성이 희귀 한 병리학 사례의 문제를 극복하는 결정 론적 이론 알고리즘의 존재에 대한 좋은 지표라는 추측을 확인합니다.

GI에 대한 준 다항식 시간 알고리즘이 복잡한 이론에서 유명한 추측을 반박 할 것인가?

아닙니다. 추측은 반대편 사이트, 즉 GI가 P에 있다는 것입니다.

토너먼트의 최소 도미 네이션 세트 문제를 GI로 효율적으로 줄일 수 있습니까?

최소 도미 징 세트는 동 형사상 문제가 아니므로 GI로 환원 될 것으로 예상되는 이유는 없습니다.

QP에 어려운 GI를 배제하는 추측이 있습니까?

우리는 문자열 동 형사상 문제를 GI로 줄이는 방법조차 모릅니다. 이것은 최소한 동 형사상 문제입니다. Babai의 증거는 문자열 동형이 QP에 있다는 것을 보여주었습니다. 그리고 ... QP가 어려워하는 것은 무엇을 의미합니까? 다항식 시간 단축이 어려운가요?

François Le Gall과 David J. Rosenbaum 의 그룹 및 색 동형 문제 의 소개에서

동 형사상 테스트 문제의 복잡성은 근본적인 계산 문제이기 때문에 그리고 많은 문제가 P로 알려져 있지는 않지만 NP- 완전 문제보다 쉬운 것처럼 보이기 때문에 연구 할 가치가 있습니다. 이 중 가장 많이 연구 된 것은 그래프 동형 문제입니다.

$\mathsf{GI}^*$$\mathsf{GrI}^*$위의 논문에 정의되어 있지만, 저자는 왜 아무도 이전에 그것을하지 않았는지 의아하게 생각합니다. (색 동형 문제는 문자열 동형 문제의 다른 이름 일뿐입니다. 이름 색 자기 변형 문제는 Babai와 Luks의 초기 논문으로 거슬러 올라갑니다.

$\mathsf{GI}^*$

편집 : 이 답변은 수정을 발표하기 전에 Babai의 결과 철회와 관련하여 주어졌습니다. 그것은 문자열 이소 형성 문제에 의해 제안 된 그래프 이소 형성 문제의 약간의 일반화가 실제로 중요한 문제임을 시사한다. 여기서 암시적인 기대 는 그래프 동형 문제에 대한 합리적인 알고리즘이 일반화 된 그래프 동형 문제에 대한 유사한 알고리즘으로 이어질 것이라는 점입니다. 일반화 된 문제는 다항식 시간과 동일 세트 - 안정 문제 는 그룹 교차로 문제 , 코 세트 교차로 문제의 설정 수송 문제 , ...이 기대 뒤에 아이디어는 일반화 된 문제가 발생할 것입니다 재귀 부분합리적인 알고리즘을 사용하므로 어쨌든 해결해야합니다. (그리고 일반화 된 문제는 그래프 동형에 해당하는 다항식 시간 일 가능성이 높습니다.)

이제 Joshua Grochow의 의견에 따르면 현 등변 성 문제에서 누락 된 조각의 개념적 중요성을 설명하지 못했습니다. 무한 구조의 경우, 유효한 동형이 주어진 구조를 보존 할뿐만 아니라 적절한 기능 범주 (예 : 연속 함수 범주)에 속해야한다는 것을 이해하기가 더 쉬울 수 있습니다. 유한 구조의 경우, 적절한 현상 범주가 주어진 몫과 호환되어야하는 몫 구조에 대해 유사한 현상이 주로 발생합니다. Johnson 스터드는 이러한 몫의 전형적인 예입니다. 예를 들어 파티션 논리는 일부 기본 세트의 두 요소 서브 세트에서 작동합니다. 또한 동형에 허용되는 카테고리를 제한하면 동형 테스트가 더 쉬워지는 경우가 종종 있습니다.

그래프 동형 문제의 일반화 문제는 어디에서 멈추어야 하는가입니다. 순열 그룹 동형 문제를 포괄하도록 일반화하지 않는 이유는 무엇입니까? 그래프 동형에 대한 많은 사소한 결과가 아마도 순열 그룹 동형에도 적용되기 때문에이 질문은 실제로 어렵다. 그러나 여기서 그래프 동형 문제와 실제로 밀접한 관련이 있더라도 계산 순열 그룹 이론을 그 자체로 주제로 취급하는 것이 더 합리적이라고 생각합니다.