정확히 25 % 확률로 오류가 발생하는 무작위 알고리즘은 어떤 클래스입니까?

E (xact) BPP를 호출 할 수있는 다음과 같은 BPP 변형을 고려한다고 가정합니다. 다항식 시간 무작위 TG가 있으면 언어의 모든 단어를 정확히 3/4 확률로 받아들이고 모든 단어는 정확히 1/4 확률로 언어. 분명히 EBPP는 BPP에 포함되어 있지만 동일합니까? 이것이 연구 되었습니까? 유사하게 정의 가능한 ERP는 어떻습니까?

자극. 나의 주요 동기는 Faenza et al.의``예상치에 대한 올바른 값 ''랜덤 알고리즘의 복잡한 이론적 아날로그가 무엇인지 알고 싶었다는 것입니다. ( http://arxiv.org/abs/1105.4127 참조 ) 먼저 그러한 알고리즘으로 해결할 수있는 의사 결정 문제 (최악의 다항식 실행 시간)를 이해하고 싶었습니다. 이 클래스를 E (xpected) V (alue) PP로 표시하겠습니다. USAT $\in$ EVPP 를 쉽게 볼 수 있습니다. 또한 EBPP $\subset$ EVPP 를 쉽게 볼 수 있습니다. 이것이 나의 동기였습니다. EVPP에 대한 의견도 환영합니다.

실제로, 그들의 알고리즘은 항상 음수가 아닌 숫자를 출력합니다. 우리가 EVP (ositive) PP에 의해 그러한 알고리즘에 의해 인식 될 수있는 결정 문제들을 표시한다면, 여전히 USAT $\in$ EVPPP를 갖는다. EBPP는 EVPPP의 일부가 아닐 수도 있지만 ERP $\subset$ EVPPP가 있습니다. 이를 사용하여 의사 결정 문제에 대해 음수가 아닌 순위를 정의 할 수 있습니다.

참고로, EBPP가 강력한 클래스라는 것은 확실하지 않습니다. 예를 들어, 알고리즘이 편향되지 않은 동전을 뒤집을 수 있도록 허용하는 대신, 편향되지 않은 3면 동전 또는 6면 주사위가 주어지면 동일한 클래스를 얻는 것이 확실하지 않습니다. 이러한 세부 사항을 변경해도 BPP는 동일하게 유지됩니다.

어쨌든, 주요 질문은 EBPP가 BPP와 같은지 여부입니다. EBPP는 BPP보다 P에 더 가깝습니다. 큰 입력 문자열에 액세스 할 수 있고이 문자열의 비트를 학습하기 위해 쿼리를 작성해야하는 이러한 클래스의 쿼리 복잡성 또는 Oracle 버전을 고려하십시오. 당신이 함수 계산하는 P 알고리즘이있는 경우 와 Q의 쿼리를 다음 정확한 정도의 다항식 표현이 존재 Q 에 대한 F 를 통해 R . (이것은 일반적인 다항식 방법 인수입니다.) 반면에, BPP 알고리즘이 있다면, f에 근사 하는 R에 대한 차수 Q 다항식 을 얻습니다.$f$$Q$$Q$$f$$\mathbb{R}$$Q$$\mathbb{R}$$f$그 값은 모든 입력에서 값에 가깝다는 의미입니다 .$f$

함수 대한 EBPP 알고리즘이 주어지면 답이 NO이면 1/4, 답이 YES이면 3/4를 출력하는 다항식을 구성 할 수 있습니다. 1/2을 빼고 2를 곱하면 P의 경우와 마찬가지로 다항식을 정확하게 표현할 수 있습니다. 이는 EBPP가 P에 더 가깝다는 것을 나타냅니다.$f$

이 관찰은 또한 EBPP와 BPP 간의 오라클 분리를 보여주기 위해 사용될 수 있습니다. 입력 값이 2N / 3 1보다 크거나 N / 3 1보다 작다는 약속이있는 약속-주요 문제를 고려하십시오. 어떤 경우인지 결정해야합니다. 이것은 분명히 BPP에 있습니다. 위에서 설명한 다항식 인수를 사용하면이 함수 에 EBPP 시스템에 대한 쿼리 가 필요하다는 것을 알 수 있습니다 . 그러나 P와 EBPP 사이의 다른 방법으로 오라클 분리를 증명할 수도 있습니다. 그렇다면 오라클 결과 가이 문제에 대해별로 말하지 않을까요? 또는 그들이 말하는 것은 어느 방향 으로든 평등을 나타내는 것이 어렵다는 것입니다.$\Omega(N)$

오라클 분리와 관련하여 EBPP = BPP = EXP ^NP 인 오라클과 P = ⊕P (및 EBPP = P) 및 BPP = EXP ^NP 인 오라클이 있습니다.

BPP = EXP ^NP 오라클 ( BPP wikipedia article 에 포함 된 것을 포함)의 한 가지 구성은 관련성 이 높은 EXP ^NP 완료 문제 를 선택 하고 입력 크기 (해당 문제의 경우)에 대해 반복적으로 진행하고 해당 크기의 문제 인스턴스에 대한 결과를 수정하는 것입니다. 그런 다음 입력과 수정되지 않은 필러 (적절한 길이)로 쿼리 할 경우 해당 문제에 대한 답변을 제공하십시오. EBPP = EXP ^{NP의 경우} , 거의 항상 정답을 제공하는 대신 카운트를 정확하게 맞출 수있을 정도로 잘못된 정답을 줄 수 있습니다. 또한 EBPP의 0 오류 아날로그 (실패보고 확률의 1/2)가 EXP와 동일한 Oracle (P = butP이지만 ZPP = EXP 인 Oracle)도 있습니다.

P = ⊕P 및 BPP = EXP ^NP 오라클이 여기 에 표시 됩니다 .

BPP 및 C ₌ P에있는 것 외에도 EBPP는 목격자 수에 대한 확률을 줄이고 그 수를 조정할 수 있기 때문에 ⊕P에 있습니다.

상대화되지 않은 세계에서 BPP는 아마도 P와 같지만 EBPP에 대한 증거는 훨씬 더 강합니다. EBPP는 예기치 않은 취소가 보류되지 않는 한 본질적으로 이용할 수없는 것처럼 보이는 정확한 경로 수에 의존합니다.

이것은 부분 답변입니다. 다른 사람에게 더 나은 것을 제공하도록 영감을 줄 수도 있습니다. $\newcommand{\EBPP}{\mathsf{EBPP}}$ $\newcommand{\CP}{\mathsf{C}_=\mathsf{P}}$

클래스 는 C = P 의 특수한 경우입니다 . C = P 를 정의하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다 ( 이 백서의 섹션 2 참조 ). 다항식 시간 검증기 V 가 있으면 언어 L 은 C = P 에 있습니다.$\EBPP$$\CP$$\CP$$L$$\CP$$V$

• 만약 되어 L 후 잠이 승 [ V ( X , w )  허용 ] = $x$$L$ ,$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• 만약 아닌 L 하고 홍보 승 [ V ( X , w )  허용 ] ≠ $x$$L$ .$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] \neq \frac{3}{4}$

(완전성 확률은 본질적으로 고정 분수 일 수 있습니다. 나는 3을 선택했습니다.질문에 주어진 확률과 일치하도록 4 ).$\frac{3}{4}$

를 정의하는 한 가지 방법은 다음과 같습니다. 다항식 시간 검증기 V 가 있으면 언어 L 은 E B P P 에 있습니다.$\EBPP$$L$$\EBPP$$V$

• 만약 되어 L 후 잠이 승 [ V ( X , w )  허용 ] = $x$$L$ ,$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{3}{4}$
• 만약 아닌 L 후 잠이 승 [ V ( X , w )  허용 ] = $x$$L$ .$\Pr_w[V(x, w) \text{ accepts}] = \frac{1}{4}$