무 방향 그래프의 단순 경로 수 계산

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무 방향 그래프 내에서 고유 한 간단한 경로의 수를 결정하려면 어떻게해야합니까? 특정 길이 또는 허용 가능한 길이 범위에 해당합니다.

간단한 경로는주기가없는 경로이므로주기가없는 경로의 수를 세는 것에 대해 이야기합니다.

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— 라이언
소스

2

이것은 mathoverflow에 이미 요청되었습니다. mathoverflow.net/questions/18603/…

— 리스팅

5

실제로 mathoverflow의 질문은 모든 경로를 찾고 경로를 세지 않는 것입니다. 그것들을 찾는 것이 훨씬 어려울 수 있습니다.

— DCTLib

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답에 주어진 참고 문헌 외에도, 하나의 사소한 관찰은 길이 의 경로 수를 셀 수 있다면 hamiltonian 경로의 존재에 대한 질문에 대답 할 수 있다는 것입니다. 아마 P는 아닙니다

n - 1

$n-1$

— Saeed

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길이의 간단한 여러 경로 계산 알고리즘있다 에서 훨씬 더 무작위 힘 (보다 시간 시간). 예를 들어 Vassilevska and Williams, 2009 참조 . $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— 안드레아스 비요크 룬드
소스

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# P-complete (Valiant, 1979)이므로 정확한 답을 원한다면 무차별 대입보다 훨씬 더 나은 결과를 얻을 수는 없습니다. 근사치는 Roberts and Kroese (2007)가 논의합니다.

B. Roberts와 DP Kroese, " 그래프 의 - 경로 수 추정 $s$ $t$ ". 그래프 알고리즘 및 애플리케이션 저널 , 11 (1) : 195-214, 2007.

LG Valiant, " 열거 및 신뢰성 문제의 복잡성 ". SIAM Journal on Computing 8 (3) : 410-421, 1979.

— 데이비드 리처 비
소스

4

Roberts and Kroese 논문은 근사치를 보증하지 않는 것 같습니다. 이 문제로 알려진 PTAS가 있습니까?

— Sasho Nikolov

3

@SashoNikolov, 합리적인 근사 알고리즘이 없을 것 같습니다. 주어진

는 각 노드를 크기

의 도수로 대체하여

에서

를 얻습니다. 여기서

그리고

.

에서 길이

의 각각의 간단한 경로에 대해

에는 대략

경로가있다 . 만약

가

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

해밀턴 경로,

에 적어도

정도의 간단한

경로가있을 것이고, 그렇지 않으면 기껏해야

간단한

경로. 따라서 약

의 계수 내에서 근사하기가 어렵습니다

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

.

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— 닐 영

6

다른 근사 알고리즘, 매개 변수가있는 알고리즘을 추가하고 싶습니다. 고정 된 (또는 더 우선적으로, $\delta>0$ ) 는 계산할 수길이의 어느 방향성 또는 방향 그래프에서 간단한 경로의 수 -approximation를시기. $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
소스