거의 2-SAT NP-hard입니까?

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3 개 이상의 절의 총 수 (너비는 아님)가 상수로 제한 될 때 CNF SAT 문제 NP가 어렵습니까? 그러한 절이 하나만있을 때 구체적으로 어떻습니까?

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
소스

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단 하나의 조항이 있다면 2 개 이상의 용어와 같은 공식을 해결하기에 하찮게이다 . 경우 갖는 조건은 각 시도 충족 된 것으로 지정 부분 다음 타임 알려진 선형 방법을 이용하여 나머지 2 SAT 수식을 해결한다. 결국 전체 공식에 대한 해를 찾거나 시간에 만족할 수 없다는 것을 증명할 수 있습니다. 여기서 은 전체 공식의 변수 수를 초과 할 수 없습니다.

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— Kyle Jones

@KyleJones하지만 단일 절 리터럴 갖는 그냥 만족 할당, . 이후 문제의 경계되지 않고,이 방법은 시간 지수 알고리즘을 제공한다.

k

$k$

2^{k} - 1

$2^k-1$

k

$k$

k

$k$

— David Richerby

2

@DavidRicherby 절을 만족 시키려면 리터럴 중 하나만 true로 평가하면됩니다. 그 후에는이 절을 무시할 수 있으며 2-SAT 공식 만 남습니다. 리터럴은 할당 만 시도하면된다는 것을 의미합니다 .

k

$k$

k

$k$

— Kyle Jones

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제한이 약간 완화되면 문제가 NP-hard가된다는 점에 주목할 가치가 있습니다.

또한 크기가 제한된 고정 된 수의 절을 사용하면 충분한 변수가있는 인스턴스를 고려하여 한 절의 평균 리터럴 수는 원하는만큼 2에 가깝습니다. 당신이 지적했듯이, 절 크기가 제한되면 간단한 상한이 다항식입니다.

반대로, 조항 당 평균 리터럴 수가 고정 된 (그러나 임의적으로 작은) 대해 이상인 경우 문제는 NP-hard입니다. $2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

이것은 사소하게 만족할 수있는 2 개의 리터럴을 가진 새로운 절을 도입하여 3SAT를이 문제로 줄임으로써 알 수 있습니다. 3SAT 인스턴스에 절이 있다고 가정하십시오 . 평균 절 크기를 으로 줄이려면 두 개의 리터럴로 새 절 을 추가하면 충분합니다 . 이후 고정 긍정적되고, 새로운 인스턴스는 다항식의 크기입니다. $m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

이 축소는 "큰"절이 3 개의 리터럴로 제한된 버전조차 NP-hard라는 것을 보여줍니다.

나머지 경우는 몇 개의 큰 절이 제한된 크기가 아닌 경우입니다. 각각의 큰 절은 문제를 더욱 어렵게 만듭니다. 두 가지 조항에 대해서는 Pǎtraşcu와 Williams의 SODA 2010 논문을 참고하십시오. 더 많은 조항에 대한 논증의 연장이있을 수 있는데, 이는 상한을 개선 할 수 없다는 증거를 제공 할 것입니다 (모듈로 지수 지수 가설의 일부 형식).

— 안드라 살 라몬
소스

단지 접선 관련,하지만 공식화는 "거의 2-SAT"다른 방법과 강한 경도를 증명하는 최근의 ECCC 종이있다 : eccc.hpi-web.de/report/2013/159

— Sasho 니콜 로프

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알았어 대답은 '아니오. 이것은 폴리 타임으로 해결할 수 있습니다. 각 3 개 이상의 용어에 대해 리터럴을 선택하고 true로 설정하십시오. 그런 다음 나머지 2 토요일 문제를 해결하십시오. 어느 하나가 해결책을 제공한다면, 그것은 전체 문제에 대한 해결책입니다. 3 개 이상의 절의 개수가 고정되어 있으므로 (예 : c), 그러한 모든 절의 크기가 <= m이면 O (m ^ (c) * n)에서 실행됩니다. 각 가능한 선택을 수행하기위한 O (m ^ c), 남은 2- 토트 문제를 해결하기 위해 O (n)를 곱합니다.

— dspyz
소스

그러나 질문은 이 제한되지 않는다는 것을 명시 적으로 나타내 므로 다항식 시간 알고리즘이 아닙니다.

m

$m$

— David Richerby

m은 원자의 수에 의해 암시 적으로 묶여 있기 때문입니다. 분명히, 절에는 문제에 원자가있는 것보다 더 많은 리터럴을 가질 수 없습니다. 아마도 내가 m <= n

— dspyz를