나는 user17410에 해당하는 공식을 사용합니다.
입력 : 벡터 X = { X 1 , ... , X의 m } 위에 { 0 , 1 } N , N 개의 입력의 일부
질의 :가 두 개의 다른 서브 세트 , B ⊆ X 되도록
Σ X ∈ X = Σ x ∈ B xnX={x1,…,xm}{0,1}nn
A,B⊆X
∑x∈Ax=∑x∈Bx
경도 증명에는 표준 EQUAL SUBSET SUM 문제의 경도를 증명하는 데 사용 된 동일한 "체인"을 따르는 많은 중간 감소가 포함됩니다.
X3C SUBSET SUM ≤ PARTITION ≤ EVEN-ODD PARTITION ≤ EQUAL SUBSET SUM≤≤≤≤
(아직도 확인 중이므로 잘못되었을 수 있습니다.)
1 단계
다음 문제 ( 0-1 VECTOR SUBSET SUM )는 NP-complete입니다. 주어진 , { 0 , 1 } n을 초과하는 x i 벡터 및 목표 합계 벡터 t 가 있는지 확인하십시오. ∑ x ∈ A x = t 증명 과 같은
A ⊆ X : 3 세트 (X3C)에 의한 정확한 표지에서 직접 축소 : n 개의 요소 세트가 주어짐 Y = { yX={x1,…,xm}xi{0,1}ntA⊆X
∑x∈Ax=t
n 및 수집
C 의
m 세 요소 집합
C = { C (1) , . . . , C m } 요소
j 가
C i에 포함되는경우에만해당하는 0-1 VECTOR SUM 인스턴스 설정
x i [ j ] = 1을 구성 합니다.
t = [ 1 , 1 , … . .1Y={y1,...,yn}CmC={C1,...,Cm}xi[j]=1jCi .
t=[1,1,...1]
A,Bm{0,1}nA,Bx1...xmmax{xi}=O((mn)k)k
예를 들어 벡터 집합 :
x1 2 1 0 1
x2 1 2 3 1
0-1 벡터와 같습니다.
x1 1 1 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0
^ ^
+-- 0 elsewhere
x2 1 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1
^ ^ ^
+-- 0 elsewhere
AABmn
따라서 다음 문제는 NP-complete입니다.
3 단계
B={x1,…,xm}xi{0,1}nXB1,B2
∑x∈B1x=∑x∈B2x
X={x1,…,xm}tS=∑xiXb′=−t+2Sb′′=t+SB=X∪{b′,b′′}
( ) 와 같은 가 있다고 가정하자 . 우리가 설정 및 ; 우리는
⇒A⊆X∑x∈Ax=tB1=A∪{b′}B2=B∖B1=X∖{A}∪{b′′}
∑x∈B1=b′+∑x∈Ax=t−t+S=2S
∑x∈B2=b′′+∑x∈X∖Ax=b′′+S−∑x∈Ax=2S
( ) 과 합이 같다고 가정합니다 . 는 모두 같은 집합에 속할 수 없습니다 (그렇지 않으면 그 합은 이며 다른 집합의 요소에 의해 "균형을 수 없습니다"). 한다고 가정 ; 우리는 :⇐B1B2b′,b′′≥3Sb′=−t+2S∈B1
−t+2S+∑x∈B1∖{b′}x=t+S+∑x∈B2∖{b′′}x
따라서 우리는 가 있어야 하고 는 0-1 VECTOR SUM에 유효한 솔루션입니다.∑x∈B1∖{b′}x=tB1∖{b′}
세트 에 0-1 개의 벡터 만 허용 하므로 벡터 2 는 STEP 2에 표시된대로 "단항으로 표시"되어야합니다.Bb′,b′′
3 단계
벡터가 으로 번호가 매겨 지고 두 하위 집합 크기가 같아야하고 에 중 하나가 정확히 포함되어 있으면 문제는 여전히 NP- 완료 입니다. 대 (따라서, 동일한 크기의 제약에 의해, 한 쌍의 다른 요소가 포함되어 있어야 ) ( 0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITION ).x1,...,x2nX1,X2X1x2i−1,x2i1≤i≤nX2
증명 : : 축소는 0-1 VECTOR PARTITION이며 PARTITION에서 EVEN-ODD PARTITION으로 감소하는 것과 유사합니다. 만약 이다 벡터 위에 위에 두 벡터의 각 벡터를 대체 :X={x1,...,xm}m{0,1}n{0,1}2n+2m
1 2 n
--------------------
x_i b_1 b_2 ... b_n
becomes:
1 2 ... 2i ... 2m
--------------------------
x'_2i-1 0 0 ... 1 ... 0 b_1 b_2 ... b_n 0 0 ... 0
x'_2i 0 0 ... 1 ... 0 0 0 ... 0 b_1 b_2 ... b_n
요소 로 인해 벡터 및 는 동일한 부분 집합에 포함될 수 없습니다. 0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITION에 대한 유효한 솔루션은 원래 0-1 VECTOR PARTITION의 유효한 솔루션에 해당합니다. 해당 위치의 0).2ix′2i−1x′2i
4 단계
0-1 VECTOR EQUAL SUBSET SUM (문제의 문제)은 NP-complete입니다. Gerard J. Woeginger 에서 입증 된 것처럼 EVEN-ODD PARTITION에서 EQUAL SUM SUBSET로 축소 한 것과 유사한 0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITION 감소 , Zhongliang Yu, 동일 부분 집합 문제에서 : 에 대해 벡터 의 순서 집합 가 주어지면 에 대해 벡터의 를 설정 합니다.A={x1,...,x2m}2m{0,1}nY3m{0,1}2m+n
모든 벡터 대해 다음 과 같이 위에 벡터 을 만듭니다 .x2i−1,1≤i≤my2i−1{0,1}2m+n
1 2 ... i i+1 ... m m+1 m+2 ... m+i ... 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
0 0 ... 2 0 ... 0 0 0 1 0 x_{2i-1}
모든 벡터 대해 다음 과 같이 위에 벡터 를 만듭니다 .x2i,1≤i≤m−1y2i{0,1}2m+n
1 2 ... i i+1 ... m m+1 m+2 ... m+i ... 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
0 0 ... 0 2 ... 0 0 0 1 0 x_{2i}
요소 를x2m
1 2 ... ... m m+1 m+2 ... . 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
2 0 ... ... 0 0 0 1 x_{2m}
마지막으로 더미 요소를 추가 합니다.m
1 2 ... ... m m+1 m+2 ... ... 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
4 0 ... ... 0 0 0 0 0 ... 0
0 4 ... ... 0 0 0 0 0 ... 0
...
0 0 ... ... 4 0 0 0 0 ... 0
값을 포함하는 벡터 는 STEP 2에 표시된 것과 같은 0-1 개의 벡터 그룹을 사용하여 "단항"으로 표현 될 수 있습니다.>1
Y 에 짝수 홀수 파티션이있는 경우에만 에 두 개의 분리 된 서브 세트의 합계가 동일 합니다. Y1,Y2X