효율적으로 최대화 할 수있는 그래프의 흥미로운 기능.

I는 가중 된 그래프가 있다고 가정 $G = (V,E,w)$ 되도록 $w:E\rightarrow [-1,1]$ 네거티브 가중치 허용 유의 - 가중 함수이다.

$f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$ 은 꼭짓점 하위 집합의 속성을 정의 한다고 가정 해 봅시다 $S \subset V$.

$f$$\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

예를 들어, 그래프 잘라 내기 함수 는 하위 집합의 흥미로운 속성입니다 정점의 수는 있지만 효과적으로 최대화 할 수는 없습니다. 가장자리 밀도 함수는 아쉽게도 효과적으로 최대화 할 수없는 흥미로운 특성의 또 다른 예입니다. 똑같이 흥미롭지 만 효율적으로 최대화 할 수 있는 기능을 찾고 있습니다 .

나는 "흥미로운 (interesting)"의 정의를 다소 모호하게 만들지 만, 최대화 문제가 사소한 것이되기를 원합니다. 예를 들어 그래프의 가장자리를 검사하지 않고 답을 결정할 수있는 것은 아닙니다 (따라서 일정한 함수와 카디널리티 함수는 흥미롭지 않습니다). $f$ 가 실제로 2 ^ V 도메인에 패딩하여 다항식 크기의 도메인으로 다른 함수를 인코딩 하는 경우도 아닙니다 $2^V$(즉 , 작은 도메인 $X$ , 일부 함수 m은 원하지 않습니다) . 2 ^ S \ rightarrow X$m:2^S\rightarrow X$ 그래프를보기 전에 알려진 관심있는 함수가 실제로 $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ 이고 $f(S) = g(m(S))$ 이 경우 "최대화"문제는 실제로 모든 입력에서 기능을 평가하는 문제 일뿐입니다.)

편집 : 가장자리 가중치를 무시하면 가장자리 최소화를 허용하기 때문에 잘라 내기 기능을 최소화하지는 않지만 때로는 최소화 문제가 쉽다는 것이 사실입니다 . 그러나 나는 분명히 최대화 문제에 관심이 있습니다. 그러나이 설정에서 자연 가중 문제에서는 문제가되지 않습니다.

가 및 정의 된 일부 부울 술어를 만족하는 모서리 수 계산할 때마다 작성하는 것은 부울 2-CSP입니다. 목적 함수는 변수에 대한 모든 지정에 대해 만족되는 절 수를 최대화하도록 요청합니다. 이것은 NP-hard로 알려져 있으며 정확한 경도 임계 값은 UGC를 가정하는 것으로도 알려져 있습니다 (Raghavendra'08 참조).( U , V ) U ∈ S에 V ∈ $f(S)$$(u,v)$$u\in S$$v\in S$

가장자리의 하위 집합에 대해 최대화하려는 경우 자연스럽게 긍정적 인 예가 많이 있습니다. 예를 들어 최대 일치는이 경우 다항식 시간 문제의 한 예입니다.

돔형 파티션 / 약한 2 색.

(이 경우 각 에 이웃이 있으면 이고 , 반대의 경우도 마찬가지입니다. 그렇지 않으면 입니다. 솔루션은 항상 존재합니다. 고립 된 노드가 없으며 다항식 시간에 쉽게 찾을 수 있습니다.)$f(S) = 1$$v \in S$$V \setminus S$$f(S) = 0$$f(S) = 1$

최소 컷 (특히 정점 컷)

(이 경우 는 다음과 같습니다. 세트 에서 노드를 제거해도 두 개 이상의 구성 요소에서 가 분할되지 않으면 입니다. 그렇지 않으면 최대화 하는 것은 최소 컷을 찾는 것과 같습니다 . 다항식 시간으로 수행 할 수 있습니다.)$f$$S$$G$$|V| - |S|$$f$

최소 모서리 절단에 해당하는 유사한 기능을 정의 할 수도 있습니다.

(예를 들어, 또는 경우 는 0 이고, 그렇지 않으면 . 여기서 는 하나의 끝 점이 있고 다른 끝 점이있는 가장자리의 집합입니다. )S = ∅ S = V | 전자 | − | X | X $f(S)$$S = \emptyset$$S = V$$|E| - |X|$$X$$S$$V \setminus S$

최대 독립 세트.

(여기에서 의 노드 = 수 의 임의의 다른 노드에 인접하지 않은 의 노드 + 번호 의 노드에 인접하는 . IFF 우리가 극대 독립 집합 인 .)S S V ∖ S S S f ( S ) = | V $f(S)$$S$$S$$V \setminus S$$S$$S$$f(S) = |V|$