최소한의 TSP 투어의 공동 NP 완료?

이 문제는 최근 블로그 게시물 에서 나왔습니다 . TSP 둘러보기가 제공되었다고 가정합니다. 최소 한도인지 확인하는 것은 공동 NP 완료입니까?

다음은 NP-complete 문제입니다.

인스턴스 : 양의 정수로 가중치를 부여한 간선과 G의 모든 노드를 방문하는 간단한주기 C가있는 완전한 그래프 G가 제공됩니다.

질문 : G에서 D의 모든 모서리의 총 무게가 G에서 C의 모든 모서리의 총 무게보다 엄격하게 작도록 G의 모든 노드를 방문하는 간단한주기 D가 있습니까?

np-hardness

NP- 완료임을 증명하기 위해 가능한 축소 스케치.

비공식적으로 3SAT가 ASP-complete (또 다른 솔루션 문제)임을 나타 내기 위해 사용 된 수정 된 3SAT 공식에서 시작하여 3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP의 표준 체인을 따릅니다.

변수 로 3SAT 공식 로 시작하십시오 및 은 ; $\varphi$ $n$ $x_1,...x_n$ $m$ $C_1,...,C_m$
새로운 변수 ...;를 추가 하여 새로운 공식 바꾸십시오 . $\varphi'$ $t$
... 각 절 을 ; $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$ $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
에서 빌드 다이아몬드 구조 그래프 관한 해밀 토니안은 NP-CYCLE 완료되었음을 입증하기 위해 사용하는 단계; 가정 각 절 노드에 해당하는 에 ; $\varphi'$ $G = \{V,E\}$ $C_j$ $N_j$ $G$
수정 그래프에 각 노드 교체 세 연결된 노드 $G$ $G' = \{V',E'\}$ $u$ 및 방향성 해밀 토니안 사이클의 NP-완전성을 증명하기 위해 사용 된 표준 환원에 따른 에지 수정 DIRECTED HAMILTONIAN CYCLE에서, 즉 은 들어오는 모서리에 사용되는 노드이고, 은 나가는 모서리에 사용되는 노드입니다. $u_1, u_2, u_3$ $u_1$ $u_3$
의 방향성 해밀턴 CYCLE 인스턴스로 변환 는 TSP 인스턴스에 의 모든 가장자리에있는 무게가 의 "긍정적 인"과제에가는 다이아몬드의 (고유의) 가장자리를 제외하고, 무게가 (아래 그림의 빨간색 가장자리); 마지막으로 완성 하기 위해 추가 된 모서리의 가중치는 입니다. $G'$ $T$ $G'$ $w = 1$ $t$ $w = 2$ $G'$ $w = 3$

분명히 TSP 인스턴스 는 (그리고이 여행은 다항식 시간으로 쉽게 구성 될 수 있음) 의 만족스러운 할당 에 해당하는 모든 노드를 방문하는 간단한주기를 갖지만 총 가중치 ( 무게가 2 인 과제 해당하는 모서리를 사용하기 때문에 ). 또 다른 간단한 사이클을 가지고 그 낮은 총 무게 방문 모든 노드를 $T$ $\varphi'$ $t = true$ $|V'|+1$ $t = true$ $T$ $|V'|$ 과제 해당하는 가중치 의 가장자리 가 사용되지 않는 경우에만; 또는 등가 적으로 IF 및 다른 만족 할당이있는 경우에만 있는 ; 그러나 원래 공식 를 만족할 수있는 경우에만 해당됩니다 . $2$ $t = true$ $\varphi'$ $t = false$ $\varphi$

나는 그것에 대해 더 많이 생각하고 공식적인 증거를 쓸 것입니다 (잘못되어있는 경우 :-). 위의 구절 중 하나 이상에 대한 자세한 내용이 필요하면 알려주십시오.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

domotorp이 지적한 바와 같이 흥미로운 결과는 다음과 같은 문제가 NP- 완전하다는 것입니다. 그래프 와 해밀턴 경로가 주어지면 에 해밀턴 사이클이 있습니까? $G$ $G$

— 마르 치오 데 비아시
소스

따라서 그래프와 H 경로가 주어지면 H 사이클이 있는지 여부를 결정하는 것이 NPc입니다.

— domotorp

좋아 보인다. 작성에 노력해 주셔서 감사합니다. 직접 내 질문을 해결하기 위해 몇 가지 변화 : 그래프의 가장자리는 2 가중되어야하고, 비 가장자리 3. 가중한다 특별한 날을 제외하고 1을 가중한다

— 랜스 포트 노우

당신은에서 특정 가장자리를 삭제하면

, 다음

H-경로가되고

는 기본적으로 내가 바로, 쓴 보여 않도록하는 H-주기 남아있을 것입니다? 나 에게이 진술은 원래 질문보다 더 흥미롭게 보입니다.

G

$G$

H_{1}

$H_1$

H_{2}

$H_2$

— domotorp

@domotorp : 당신이 맞아요! :)

— Marzio De Biasi

arxiv.org/pdf/1403.3431.pdf Marzio De Biasi

— T ....

Papadimitriou & Steiglitz (1977) 는이 문제의 NP- 완전성을 보여 주었다.

— 마커스 리트
소스

흠 ... 나는 약간의 "바퀴를 reinveting-바퀴"느낌이 있습니다 :-) 종이 SIAM paywall 뒤에, 증거는 내 것과 비슷합니까?

— Marzio De Biasi

나는이 논문에 접근 할 수 없지만 , 그 책의 19.9 절 에서도 더 쉽게 접근 할 수있는 증거를 찾을 수 있습니다.

— Marcus Ritt

알았어 고마워! 그 증거는 다릅니다 ( 해밀턴 경로가 있지만

에 해밀턴 회로가있는 경우에만 해밀턴 회로가있는 해밀턴 회로 문제 의 인스턴스

를

로 수정합니다 ). 그러나 arXiv에 게시 한 논문을 업데이트하고 새로운 결과가 아님을 확인하거나 삭제해야합니다. 어떻게 생각해?

G

$G$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Marzio De Biasi

@ Marzio de Biasi 나는 종이를 업데이트하는 것이 좋다고 생각합니다. 대체 증거는 여전히 흥미 롭습니다.

— Marcus Ritt