로컬 오토마타의 상태 수

결정적 오토 마톤 = ( X , Q , Q 0 , F , δ는 ) 라고 K -local가 K > 0 매위한 경우 w ∈ X K 세트 { δ ( Q , w ) : Q ∈ Q } 기껏 포함 하나의 요소. 직관적으로 이는 길이 k 의 단어 w 가 상태로 연결되는 경우이 상태가 고유하거나 길이가 임의 인 단어와 다르게 표시됨을 의미합니다.$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$ 마지막 k 기호는 연결되는 상태를 결정합니다.$> k$$k$

자동 장치 인 경우 지금은 - 현지 그때는 일 필요는 없다 K ' - 현지 일부 K ' < K , 그러나이어야 K ' - 현지에 대한 K ' > K 일부 단어의 마지막 문자 원인 | 승 | > K 유일하게있는 경우의 상태를 결정한다.$k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

이제 상태 수와 오토 마톤 의 로컬 성 을 연결하려고합니다 . 나는 추측한다.$k$

보조 정리 : 하자 = ( X , Q , Q 0 , F , δ는 ) 될 K 의 경우, - 현지 | Q | < k 그러면 오토 마톤도 | Q | -현지.$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

그러나 제안이나 아이디어를 증명하지 못했습니다.

I는 자동 장치의 상태의 수에 대한 파생 뭔가이 보조 정리에 의해 희망없는 - 현지 모든 K ≤ N 주어진 고정 된 N > 0 ,하지만 K 일부 - 현지 K > N .$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

당신이 말 때문에 해야 기껏해야 하나 개의 요소, 난 당신이 DFA의 버전을 사용하는 것으로 가정합니다 δ는 부분이 될 수 있습니다. 그러면 이것은 반례입니다 : X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$ 에 대한 Q < 4 및 δ ( 1 , B ) = 2 , δ ( 2 , B ) = 3 , δ ( 4 , B ) = 0 . F 와 q 0은 분명히이 질문에 중요하지 않습니다.$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

T a b a a b = { 0 , 3 } 이므로 오토 마톤은 로컬이지만 5- 로컬은 아닙니다 .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

편집 :이 반례가 작동하지 않으므로 주석이 이해되도록 유지하겠습니다. 그러나 다음과 같습니다.

받아 전환하여, 0 → 1 ( ) , 1 → 2 ( ) , 2 → 3 ( ) , 2 → 0 ( B ) , 3 → 2 ( b ) . 이 오토 마톤은 $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-local이 아닌 local : a a b a 의 경우 경로 0 → 1 → 2 → 0 → 1 및 1 → 2 → 3 → 2 → 3 을 얻습니다 . 즉 T a a b a = { 1 , 3 } .$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

답은 늦었지만 동기화 지연에 대한 경계는 여러 종류의 오토마타에 대해 연구되었습니다 . 베알 (Béal) 등. MCS'08 .

특히; 로컬 오토 마톤의 동기화 지연 경계에 표시된 대로 지연 을 갖는 결정 론적 오토마타 계열이 있습니다 . 베알 (Béal) 등. TCS'98- 해당 O ( | Q | 2 ) 상한 과 일치합니다 .$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS 종이에 정의 된 동기화 지연 은 결정적 로컬 오토 마톤이 k- local 인 최소 입니다 .$k$$k$