이 문제의 복잡성 클래스?


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다음 문제가 속하는 복잡성 클래스를 이해하려고합니다.

지수 다항식 근본 문제 (EPRP)

하자 가 수 다항식 ℃에서 ( P ) 0 유한 필드에서 도출 계수 G F ( Q )Q 소수와 r에 해당 필드에 대한 프리미티브 루트. :의 솔루션 결정 P ( X ) = R (X) (또는 등가 적으로, 제로의 p는 ( X ) - (R) X 임) R X 수단 제곱 승 R을 .p(x)deg(p)0GF(q)qr

p(x)=rx
p(x)rxrxr

참고 것을 때 (다항식는 상수), NP-중간체 것으로 여겨진다 이산 대수 문제,이 문제에 복귀한다, 즉, 그것은 NP에 있지만 어느 P도에서 NP 완전.deg(p)=0

내가 아는 한,이 문제를 해결하기위한 효율적인 (다항식) 알고리즘은 존재하지 않습니다 (Berlekamp 및 Cantor–Zassenhaus 알고리즘은 지수 시간이 필요합니다). 이러한 방정식의 근본을 찾는 것은 두 가지 방법으로 수행 할 수 있습니다.

  • 필드에서 가능한 모든 항목 를 시도 하고 방정식을 만족하는지 확인하십시오. 분명히, 이것은 필드 계수의 비트 크기에서 지수 시간이 필요합니다.x

  • 지수 는 포인트 { ( 0 , r 0 ) , ( 1 , r 1 ) , , (, q , 1 , r q - 1 ) }을 보간하기 위해 Lagrange 보간법을 사용하여 다항식 형태로 다시 작성할 수 있습니다 . 다항식 f ( x ) . 이 다항식은 동일r에 X 우리는 유한 필드에서 작업 정확하게 때문이다. 그런 다음 차이 prx{(0,r0),(1,r1),,(q1,rq1)}f(x)rx 는 주어진 방정식의 근을 찾기 위해 (Belekamp 또는 Cantor–Zassenhaus 알고리즘을 사용하여) 근을 찾아서 근을 읽습니다. 그러나,이 접근법은 전체 검색보다 훨씬 나쁘다 : 평균하여 다항식 통과 이후 N 주어진 포인트 것이다 N 필드 비트 크기 지수의 공간을 필요로 널이 아닌 계수, 라그랑주 보간에도 만 입력.p(x)f(x)nn

이 문제가 NP- 중간 적이거나 다른 복잡성 클래스에 속한다고 생각되는 사람이 있습니까? 참조가 크게 감사하겠습니다. 감사.


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죄송합니다. NP- 중간 인 것으로 생각됩니다. 이것을 반영하기 위해 질문을 편집하고 있습니다.
Massimo Cafaro

1
p(x)=rxp(x)rxp(x)f(x)f(x)

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이산 로그가 특별한 경우가 아닙니까? 따라서 적어도 이산 루트만큼 어렵고 분명히 NP에 있습니다. 불연속 로그가 NPI라고 생각하면이 로그도 마찬가지입니다. 문제에 대한 효율적인 양자 알고리즘이 있는지 물어볼 수 있습니다.
Kaveh

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@ Kaveh : 이산 로그가 특별한 경우라는 질문에 언급되어 있습니다. 이 문제는 더 어려울 수 있지만 (NP- 완료), 동일하다고 생각합니다. 그러나 다항식 알고리즘을 찾는 것은 매우 희망적입니다.
domotorp

답변:


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이 질문에 대답 할 것입니다. 이 질문에 대한 언급은 없지만 두 사람 이상이 연구 한 것처럼 "EPRP"라는 약어가 제공됩니다. 그것이 사실인지 아는 사람 있습니까? 질문자 MC는이 분야에서 상당한 bkg을 가지고있는 것으로 보이지만,이 특별한 경우를 다루지 않는 (?) 차이가있는 이유를 이해하기 위해 알려진 / 검토 된 일부 "거의"참조를 나열하는 데 크게 도움이 될 것입니다.

일반적으로 "가장 가까운 참조"를 찾고 문제가 어떻게 다른지 또는 유사한지를 결정하는 데 도움이됩니다. 다음은 밀접하게 관련된 문제를 고려한 포괄적 인 참조입니다. 질문자 MC는이 심판에서 또는 그 밖의 다른 문제에서 가장 가까운 문제의 사례를 찾은 다음이 사례에 대한 질문이 심판에서 주어진 일반적인 문제 사례와 구체적으로 어떻게 다른지 지적해야한다고 생각한다. 심판은 주변 / 관련 문제를 확인하기 위해 관련 심판의 긴 목록을 가지고 있습니다. 그는 문제의 복잡성을 고려하고 다양한 경우에 효율적인 P- 시간 알고리즘을 제공합니다.

유한 분야와 일부 관련 문제에 대한 일원화 폴리에 노미 칼 방정식에 관한 연구 Tsz Wo Sze, 철학 박사, 2007

... 우리는 유한 필드의 일부 패밀리에 대한 다항식을 풀기 위해 결정적 다항식 시간 알고리즘을 제시합니다. 다항식은 강력한 구조입니다. 많은 문제가 다항식으로 공식화 될 수 있습니다.


2
이 "답변"은 논문에 대한 링크가있는 주석이어야합니다.
Sasho Nikolov

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@vzn, 주요 알고리즘 (berlekamp, ​​Cantor-Zassenhaus 및 Lagrange 보간)이 내 질문에 인용되었으며 웹을 검색하는 수많은 관련 자료를 쉽게 찾을 수 있습니다. 여기에 Shoup 알고리즘을 추가 할 수도 있지만이 문제를 조사한 단일 참조는 추가 할 수 없습니다. 약어 "EPRP"는 문제를 나타내는 방법 일 뿐이며 문헌에서 찾을 수 없습니다. 어쨌든, 나는 당신이 친절하게 제공 한 참고 문헌을 확인했지만, 연구 된 문제는 너무 쉽고 너무 불행하게도 내 경우에는 적용되지 않는 가정을 단순화하여 기반을두고 있습니다.
Massimo Cafaro

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또한 박사 과정에서 연구 된 문제들. 논문은 "일반적인"것이 아니다 : 그것들은 다루기 쉬운 가정을 단순화하는 특정한 문제이다. 아주 재미 있고 고체 작동하지만 크기 씨 우와 박사 TSZ이 다항식 시간 알고리즘 EPRP를 해결했다면, 그는 아마 ;-) 지금 필드 메달을 수상했습니다 것
마시모 카파

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xϕ(ϕ(q))

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@VZN : 이봐 친구, 왜 계속이 사이트를 트롤하는거야? 농담이 될거야. 당신은 분명히 컴퓨터 과학을 알고 싶어합니다. (Shor and Growchow와 같은 다른 실제 과학자들과 마찬가지로 실제 정체성을 사용하지조차 않습니다.
William Hird
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