등변의 균일 한 색상의 하위 삼각형을 방지하는 최소 색상

에서 Bundeswettberweb Infomatik 2010/2011, 흥미로운 문제가 발생했습니다 :

고정 경우 최소 k 와 맵을 찾으십시오. φ : { ( i , j ) | i ≤ j ≤ n } → { 1 , … , k } 이므로 φ ( i ) 가 포함 된 3 중 ( i , j ) , ( i + l , j ) , ( i + l , j + l ) 가 없습니다$n$$k$$\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$$(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$ .$\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

즉, 우리는 삼각형에 대해 최소한의 색상을 찾고, 균일하게 착색 된 등변 서브 삼각형이 없습니다 (다음 그림은 강조 표시된 정점이 균일하게 착색 된 등변 서브 삼각형을 형성하므로 유효하지 않은 색상을 나타냅니다).

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사실 그들은 비교적 작은 요구 에 대한 N = 1000 과의 솔루션 들은 그리 디 접근법과 함께 착색제 산출 주목 (독일어 기록) (27 개) 에 대한 색상 N = 1,000 로 감소 될 수 있고, 15 까지 무작위 색상 작성자 유효한 해결책을 찾았습니다.$k$$n=1000$$27$$n=1000$$15$

정확한 솔루션 (작은 )에 관심이 있습니다. 이 솔루션은 역 추적 결과 2 n 색이 n ∈ { 2 , 3 , 4 } 에 충분 하고 3 ≤ 5 ≤ n ≤ 17에 충분 하며 역 추적이 이미 n = 17에 대해 실제로 느린 경우에는 3을 나타 냅니다.$n$$2$$n\in\{2,3,4\}$$3$$5\leq n \leq 17$$n=17$

먼저 ILP 공식과 Gurobi를 사용하여 대한 몇 가지 결과를 얻었 지만 너무 느 렸습니다 (이미 n = 17 ). 그런 다음 SAT 솔버를 사용했습니다 . 왜냐하면 SAT 인스턴스로 곧은 공식이 있음을 알았습니다.$n>17$$n=17$

그 접근 방식은 I와 용액 생성 할 수 있었다 색소 N = 18 에서 10 MINUTES :$3$$n=18$$10$

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그러나 n = 19에 대해 색으로 충분 하다고 판단하려면 이미 너무 느립니다. n ≥ 19에 대한 정확한 솔루션을 제공하는 다른 접근법이 있습니까? 확실히 우리는 다항식 알고리즘을 기대할 수 없습니다.$3$$n=19$$n \geq 19$

확장 된 주석 :

Steinbach와 Posthoff가 단색 사각형이없는 18x18 (및 12x21) 격자의 4 색 을 찾는 데 사용되는 접근 방식을 살펴볼 수 있습니다 .

Bernd Steinbach와 Christian Posthoff, 마지막으로 개방 된 4 색 사각형이없는 그리드 솔루션으로 매우 복잡한 다중 값 문제 . 다중 값 논리에 관한 2013 IEEE 43 국제 심포지엄 (ISMVL '13) 진행

$c$$n \times m$

참고 사항 : 단색 사각형이없는 4 색 문제에 몇 주 동안 CPU 사이클을 보냈지 만 잘못된 부분 결과 (가능한 1 색 하위 구성의 수를 제한하는 잘못된 이전 분석)에서 시작하여 사용했습니다. STP 제약 해결사 ; 대칭을 위반하는 구속 조건을 추가하면 (예 : 삼각형 측면의 색상 순서) 1 색만 사용하여 가능한 구성을 분석하려고하면 크게 개선 할 수 있습니다.

편집 : 이것은 n = 19 (~ 1 분) 동안 STP 프로그램의 결과입니다.

$n \leq 22$$n=22$$n=23$$n=23$$n=23$

$n=19$$n=23$

$n=22$

이미지를 생성하고 문제에 대해 알려 주신 Marzio에게 감사드립니다. :-)