“내 집합에서 순열 p가 그래프의 자동 형성인가?” NP 완료?

그래프의 S 세트 (유한 그래프이지만 무한한 수)와 S에 작용하는 순열 그룹 P가 있다고 가정합니다.

인스턴스 : P의 순열 p

질문 : S에 automorphism p를 인정하는 그래프 g가 있습니까?

이 문제가 일부 세트 S에 대해 NP- 완전입니까?

그래프가 순열 p (즉, 인증서)를 허용하는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 또한 문제가 NP- 완전하지 않은 S의 예를 쉽게 찾을 수 있습니다 (예 : S는 완전한 그래프의 집합 임).

참고 : 실제로 어떤 유형의 그래프에 관심이 없습니다. 원하는 경우 단순하지 않고 지시되거나 색이 지정 될 수 있습니다.

부록 : 현재보고있는 문제는 라틴 동방 형의 오토 토피 즘 인 동위 원소를 분류하는 것입니다 (특별한 유형의 그래프 자동 형성으로도 해석 할 수 있음).

라틴 정사각형 L (i, j)가 주어지면 다음과 같은 방법으로 그래프를 구성 할 수 있습니다.

꼭짓점 집합은 행렬의 셀 집합 (i, j)이며
i = i '또는 j = j'또는 L (i, j) = L (i ', j')마다 구별되는 (i, j)와 (i ', j') 사이에 경계가 있습니다.

이러한 그래프를 라틴 정사각형 그래프 라고합니다 (예 : Bailey and Cameron의이 기사 http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf 참조 ). 라틴 정사각형의 autotopism을 라틴 정사각형 그래프의 automorphism으로 해석 할 수 있습니다. 따라서 S는 라틴계 제곱 차수 n으로 형성된 라틴계 정사각형 그래프의 집합이라고하자. 그래서 내가 관심있는 질문은 다음과 같습니다.

순열 p가 주어지면, p는 S에서 그래프의 하나 이상의 (또는 그 이상의)자가 형성입니까?

제 생각에는 일반적으로 대답하기 어려운 질문입니다. 저는 현재이 문제에 대해 30 페이지 이상의 논문을 작성하고 있습니다 (공동 저자 2 명). 실제로 대부분의 경우 쉽지만 (대부분의 경우 "아니오") 어려운 경우가 있습니다.

따라서 "대칭 분류"와 관련된 의사 결정 문제를 찾는 데 관심이 있습니다. 그들은 실제로 라틴 정사각형과 관련이있을 필요는 없습니다. 저는 단지이 기술을 사용하여 라틴 정사각형에 대한 질문에 답하기를 바랍니다.

— 더글러스 스톤즈
소스

문제를 올바르게 이해했는지 잘 모르겠습니다. S와 P (및 S에서 P의 그룹 조치)의 예를들 수 있습니까? 문제를 사소하지 않게 만드는 예 (모두 예 또는 아니오)는 문제를 이해하는 데 도움이됩니다.

— Tsuyoshi Ito

완전한 그래프의 예에서, 내가 이해하지 못하는 것은 k 포인트의 순열이 n 포인트의 완전한 그래프에 작용하는 방법입니다. 여기서 k ≠ n (특히 k> n 인 경우).

— Tsuyoshi Ito

나는 그 문제를 이해했다는 생각에 스스로를 속일 수 있었지만, 지금은 그렇지 않다고 결정했다. 또는 단지 가족 P의 그래프에 순열 S 법 군 않음 잠재적 패밀리 P의 그래프에 작용?

— Niel de Beaudrap

여기서 한 가지 문제는 멤버쉽 테스트가 NP에 있는 세트

를 선택해야한다는 것 입니다.

S

$S$

— Emil

답변에 배경을 조금 더 추가했습니다. 실제로, 나는 일반적으로 "이 순열이 그 그래프의 자형 화인가?" 라틴 사각형의 경우 그룹 작업으로 해석 할 수 있습니다.

— Douglas S. Stones

이진 문자열로 구성된 언어 하십시오 . 다음과 같이 그래프 세트 를 구성하십시오 . $L$ $S$

각 문자열에 대한 로 이면 노드 세트가 의 그래프 가 다음 가장자리 : 비트 경우 의 인 , 다음 노드 및 $x \in L$ $|x| = n$ $G_x = (V_x,E_x)$ $S$ $V_x = \{1,2,...,3n\}$ $i$ $x$ $0$ $3i-2$ 이 인접 해 있고, 그렇지 않으면 및 가 인접 해 있습니다. 다른 모서리는 없습니다. $3i-1$ $3i-2$ $3i$

이제 는 의 순열 이라고하자 입니다. 가 의 일부 그래프의 자동 형성 이라고 가정합니다 . 즉, 는 일부 대한 의 동형이다 . 하자 . 다음 두 가지 경우를 고려하십시오. $p$ $\{1,2,...,3n\}$ $p$ $S$ $p$ $G_y$ $y \in L$ $i \in \{1,2,...,n\}$

, , 입니다. 그런 다음 우리는 비트가 있어야 의 같음 . $p(3i-2) = 3i-1$ $p(3i-1) = 3i-2$ $p(3i) = 3i$ $i$ $y$ $0$
, , 입니다. 그런 다음 비트 는 과 같아야합니다. $p(3i-2) = 3i$ $p(3i-1) = 3i-1$ $p(3i) = 3i-2$ $i$ $y$ $1$

그러므로 우리가 " 일부 의 주어진 자 형성이다 "라는 질문을 해결할 수 있다면, " 에서 주어진 문자열 "라는 질문도 해결할 수 있습니다 . 또한, 예를 들어 다항식 시간에서 전자를 수행 할 수 있다면 , 우리는 다항식 시간에 후자를 할 수 있습니다 게다가. $p$ $G \in S$ $y$ $L$ $|p|$ $|y|$

이제 좋아하는 NP 하드 문제로 만들 수 있습니다. 또는 정지 문제 $L$

— 주카 수오 멜라
소스

L

$L$

S

$S$

G_{y} \in S

$G_y \in S$

p

$p$

G_{y}

$G_y$

y \in L

$y \in L$

S

$S$

S

$S$

L

$L$

G_{x}

$G_x$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

x

$x$

a

$a$

y \in L

$y \in L$

p

$p$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

y

$y$

a

$a$

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

n

$n$

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

L

$L$