점근 적 성장에 대한 결정 가능한 이론

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의 함수 성장률 비교에 대한 결정성에 대한 알려진 한계는 무엇입니까 ? 나는 " ?" 와 같은 질문의 결정 가능성을 생각하고 있습니다. 또는 " 입니까?" $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $x^x \sim 2^{\lfloor x \lg (x+2) \rfloor}$ $2^{\lg^* x} \in O(\lg \lg x)$

함수를 다항식 (일반적인 방식으로 표현)으로 제한하면 어렵지 않습니다. Cantor normal form 도 참조하십시오 .

비교하기 전에 함수 클래스를 얼마나 크게 만들 수 있습니까? 일반적인 학부 알고리즘 클래스에서 사용되는 함수로 확장 할 수 있습니까?

Joshua Grochow가 의견에서 설명했듯이 함수 자체가 아닌 표현 집합에 실제로 관심이 있습니다. 그래서, 예를 들어, 나는 "비교할 수있는 의사 결정 절차에 관심이있을 것 " "와 그들이"비교할 수없는 경우에도, " "과 " ". $1$ $2$ $\ln e$ $n^{(\ln n)^{-1}}$

아마도 관련 질문 : "점근 경계 이론은 유한하게 액화 할 수 있는가?"

decidability asymptotics

— jbapple
소스

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재미있는 질문! 그래도 한 부분을 조금 바꿔야한다고 생각합니다. 문제는 함수 클래스의 크기가 아니라 함수가 어떻게 표현 되는지에 대한 질문이 아니라고 생각합니다 . 즉, 입력으로 두 개의 다항식 시간 튜링 머신이 주어지면 어느 쪽이 더 큰 실행 시간을 갖는지 알 수 없습니다 (둘 다 다항식 실행 시간이 있다는 사실에도 불구하고). , 명시 적 다항식 (전체 폴리 / 계수를 작성)을 비교하면 비교하기 쉽습니다.

— Joshua Grochow

좋은 지적. 그 말을하는 방법에 대한 제안이 있습니까?

— jbapple

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나는 그것이 당신이 관심있는 것에 달려 있다고 생각합니다. 다양한 연산을 포함하는 수식으로 표현 된 함수를 요구하는 것이 당연 할 수 있습니다. 그리고 질문은 어떤 연산 세트가 그것을 결정 / 결정할 수 없게 만드는가입니다. 예를 들어 ops에는 +, 시간, 나누기,-, n 번째 근, exp, log, composition, log ^ * 등이 포함됩니다. log ^ *를 생략하면 위의 목록에 모든 기본 기능이 제공됩니다.

— Joshua Grochow

답변:

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$\mathbb{R}$ $x$ $\exp$ $\log|\cdot|$ $f(x)^5 + f(x) = x$ 가족에 있습니다). Hardy는 이러한 두 가지 기능을 무증상으로 비교할 수 있음을 보여주었습니다. 증거가 알고리즘인지 확실하지 않지만 확인할 가치가 있습니다.

보 셰르 니잔 (Boshernitzan) 은이 수업을 더욱 확장 시켰 으며 의심 할 여지없이이 주제에 관한 다른 연구가 진행되고있다.

— 유발 필름 러스
소스

John R. Shackell의 저서 "Symbolic Asymptotics"는이 문제에 대한 첫 번째 알고리즘이 Dahn and Goring의 1986 년 논문 "지수-로그 용어에 대한 참고 사항" 에서 비롯되었다고 주장합니다 (91 페이지 5.1 항) . Dominik Gruntz의 1996 년 논문 인 "심볼 조작 시스템의 컴퓨팅 한계" 에는이 문제에 대한 알고리즘이 포함되어 있으며 다양한 방법을 비교합니다.

— jbapple

2

그러나 이것들은 모두 등가 문제를 해결하기 위해 오라클에 의존하며 일반적으로 결정 불가능합니다.

— jbapple

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