최대 분리 세트 : 욕심 많은 알고리즘의 실제 근사 계수는 무엇입니까?

찾는 문제 고려 최대 분리 된 세트를 후보 지정된 컬렉션에서 겹치지 않는 기하학적 도형의 최대 세트를, -. 이것은 NP- 완전 문제이지만, 대부분의 경우 다음 욕심 많은 알고리즘은 상수 팩터 근사치를 생성합니다.

• 모든 후보 형상 들어 X , 그 계산 이 끊긴 교차로 개수 = 비 연속 형상이 교차의 최대 개수 (X)를 .$DIN(x)$
• 가장 작은 DIN ( )을 가진 후보 모양을 선택하십시오 . 교차하는 모든 모양을 제거하십시오.$\arg \min_{x} DIN(x)$
• 더 이상 후보자가 남아 있지 않을 때까지 계속하십시오.

예를 들어, Wikipedia 페이지에서 다음 그림을 고려하십시오.

녹색 디스크는 5 개의 다른 디스크와 교차하지만 DIN은 3입니다 (3 개의 빨간색 디스크는 분리되어 있음). 맨 위와 맨 아래의 빨간색 디스크는 2 개의 다른 디스크와 교차하지만 자체적으로 교차하므로 DIN은 1입니다. 노란색 디스크의 DIN은 2입니다. 욕심 많은 알고리즘은 맨 위 또는 맨 아래의 빨간색 디스크를 선택합니다.

최소 DIN이 상수에 의해 제한 될 수있는 경우, 탐욕스러운 알고리즘은 다항식 상수 인자 근사치입니다.

예를 들어, 모든 후보 모양이 단위 디스크 인 경우 Marathe et al (1995) 은 DIN이 최대 3 인 디스크 가 항상 존재 함을 보여줍니다. 가장 왼쪽의 디스크 (가장 작은 x 좌표의 디스크)는 최대 3 개의 다른 분리 된 디스크와 교차합니다. . 따라서 욕심 많은 알고리즘은 최적의 솔루션에서 최대 3 개의 디스크마다 1 개의 디스크를 얻으므로 3 근사값을 얻습니다.

마찬가지로 모든 후보 모양이 임의 크기의 디스크 인 경우 가장 작은 디스크는 최대 5 개의 다른 분리 된 디스크와 교차하므로 최소 DIN은 최대 5 이므로 욕심 알고리즘은 5 근사값을 생성합니다 .

지금까지는 좋지만 3과 5의 요인이 빡빡합니까? 확실하지 않습니다.

위의 그림을 고려하십시오. 가장 왼쪽의 디스크 (녹색)를 선택하면 크기 1의 분리 된 세트가 발견되고 실제로 크기 3의 최대 분리 세트 (빨간색)에 대한 3의 근사치가 있지만 탐욕스러운 알고리즘은 녹색 디스크를 선택하지 않습니다. DIN이 1 인 상단 / 하단 적색 디스크.이 경우 탐욕스러운 알고리즘이 최적의 솔루션을 찾습니다.

욕심 많은 알고리즘이 단위 디스크 로 분리 된 세트를 찾는 동안 최대 분리 세트는 일반적인 대한 반례를 찾을 수 없습니다 . 실제로, 나는 최소 DIN이 실제로 3 인 일반적인 반례를 구성 할 수 없었습니다. 제가 생각 해낼 수있는 최선의 방법은 각 단위 디스크가 최대 2 개의 다른 분리 된 디스크 (예 : 최소 DIN)와 교차하는 다음과 같습니다. 2)입니다. 그러나 여기서도 탐욕스러운 알고리즘은 2 근사치보다 최적의 솔루션을 찾습니다.n 3 $n$$n$$3n$

내 질문은 :

• 이란 무엇입니까 실제 단위 디스크의 컬렉션을 최대 분 DIN은? 임의 크기의 디스크?
• 단위 디스크 모음에 대한 탐욕 알고리즘 의 실제 근사 계수 는 무엇입니까 ? 임의 크기의 디스크? (이 요소는 최대 최소 DIN만큼 크지 만 작을 수 있습니다).

업데이트 : 모든 k- 튜플 모양 에 대해 = 결합 의해 교차 된 최대 분리 된 모양 수를 . 를 모든 k- 튜플의 분리 된 모양에 대한 최소 DIN으로 정의하십시오 . D I N ( X 1 , . . . , X K ) X 1 ∪ . . . ∪ x k m i n D I N $x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

예를 들어 아래의 Yury의 답변에서 은 모든 원이 3 개의 다른 원과 교차하기 때문입니다. 는 외부 원과 내부 원에서 서로 4 개의 다른 2 개의 분리 된 원을 선택할 수 있기 때문입니다. 모든 에 대해 입니다.m i n D I N 2 = 4 k m i n D I N k ≤ k + $minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

욕심 많은 알고리즘의 근사 비율은 수 있다고 생각합니다. 최적 솔루션의 모든 모양에 대해 알고리즘 출력에 개 이상의 모양이 있기 때문 입니다. 이 올바른지? minDINk$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

편집 : 나는 지금 이산 기하학 의 훌륭한 연구 연구 문제를 읽고 있습니다. 이 정확한 문제를 찾지 못했지만 관련성이있는 문제를 발견했습니다. "2.5 이웃이 많은 얇은 패킹"섹션에는 각 원이 5 개의 다른 원에 닿는 원형 패킹의 예가 있습니다. 이러한 포장이 DIN = 5 인 원 구성을 생성 할 수 있는지 궁금합니다.

단위 디스크 모음에서 실제 최대 최소 DIN은 얼마입니까?

3입니다.