왜 NP- 중간 지위에 대한 후보자가 그렇게 적습니까?

Ladner Theorem은 인 경우 무한히 많은 중간 ( ) 문제가 있음을 잘 알고 있습니다. Graph Isomorphism과 같은이 상태에 대한 자연스러운 후보도 있으며, 다른 여러 가지도 있습니다 ( P와 NPC 사이의 문제 참조) . 그럼에도 불구하고 알려진 문제 의 군중에서 대다수는 또는 중 하나로 알려져 있습니다 . 그중 일부만이 후보로 남아 있습니다 . 즉, 자연스럽게N P N P I natural N P P N P C N P I N ${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf{NPI}$$natural$ $\mathsf {NP}$$\mathsf {P}$$\mathsf {NPC}$$\mathsf {NPI}$$\mathsf {NP}$알려진 문제 중 하나 인 경우, 우리는 후보 를 선택할 기회가 거의 없습니다 . 이 현상에 대한 설명이 있습니까?$\mathsf {NPI}$

나는 철학적 측면에서 더 많은 3 가지 가능한 설명을 생각할 수 있습니다.

1. 자연 후보 의 작은 부분을 갖는 이유 는 가 결국 비어있는 것으로 판명되기 때문입니다. 나는 이것이 암시 하므로 매우 가능성이 낮습니다. 자연의 진귀 것을 (나는 그들 중 하나 모르겠지만) 그럼에도 불구하고, 하나는 여전히 주장 할 수 문제는 경험적 관찰이를 실제로 지원이 나타납니다 , 대조 대부분의 다른 관찰에.N P I P = N P N P I P = N $\mathsf {NPI}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}$${\mathsf P} =\mathsf {NP}$

2. "natural- " 의 작은 크기는 쉬운 문제와 어려운 문제 사이의 일종의 예리한 위상 전이를 나타냅니다. 분명히 의미 있고 자연스런 알고리즘 문제는 쉽게 어렵거나 어려운 경향이 있으며, 전환이 좁지 만 여전히 존재합니다.$\mathsf {NPI}$

3. 2의 주장은 극단으로 받아 들여질 수있다. 결국 "natural- "의 모든 문제는 P ∪ N P C 에 들어가 지만 P ≠ N P 이므로 N P I ≠ ∅가된다 . 이것은 N P I에 남아있는 모든 문제를 의미합니다.$\mathsf {NPI}$$\mathsf {P} \cup \mathsf {NPC}$${\mathsf P}\neq \mathsf {NP}$$\mathsf {NPI}\neq \emptyset$$\mathsf {NPI}$"비 자연적"(실제 의미가없는 것으로 생각됨). 이것에 대한 해석은 자연 문제가 쉬울 수도 있고 어려울 수도 있습니다. 전이는 "물리적"의미가없는 논리적 구성 일뿐입니다. 이것은 비논리적 인 숫자를 연상 시키는데, 이는 논리적으로 완벽하지만 물리량의 측정 값으로는 발생하지 않습니다. 따라서, 그들은 물리적 현실에서 오는 것이 아니라 오히려 그 현실의 "논리적 폐쇄"에 있습니다.

어떤 설명이 가장 좋습니까, 아니면 다른 것을 제안 할 수 있습니까?

다른 사람들이 지적했듯이, 설명하려는 내용이 어느 정도 진실인지는 논쟁의 여지가 있습니다. 60 년대와 70 년대에 이론적 인 컴퓨터 과학자들은 P 나 NP가 아닌 것으로 밝혀진 문제에 더 관심이 많았다 고 주장 할 수 있습니다. 오늘날 복잡성 이론 암호화, 양자 컴퓨팅, 격자 등의 증가로 인해 NP- 완전성이 매우 잘 이해되었다는 단순한 사실이 우리는 점점 더 관심을 가지게되었습니다. NP- 중간으로 판명되는 문제.

그럼에도 불구하고, 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다. 즉, 많은 자연 검색 및 최적화 문제가 NP- 완전 또는 P-에 해당하는 정도로 "스냅"되는 정도까지 , 왜 그것은 사실입니까? 여기서 나는 계산에서 초기 현상을 살펴봄으로써 많은 직관을 얻을 수 있다고 생각합니다. 너무 많은 자연 계산 모델이 Turing-complete라는 "스냅"입니다. 이 경우 설명은 읽기 / 쓰기 메모리, 루프, 조건부 등과 같은 몇 가지 기본 구성 요소가 있으면 피하기 어렵다는 것입니다.튜링 머신을 시뮬레이트 할 수 있으므로 튜링 완료입니다. 마찬가지로 검색 또는 최적화 문제에 몇 가지 기본 구성 요소 (가장 중요하게는 AND, OR 및 NOT과 같은 논리 게이트를 모방하는 "가제트"를 구성 할 수있는 기능)가 있으면 불가능한 것을 피하기가 어렵습니다. SAT를 인코딩하여 NP- 완전합니다.

제가 생각하고 싶은 방식으로, SAT와 같은 문제는 근처의 다른 모든 계산 문제에 강력한 "중력 풀 (gravitational pull)"을 가해 NP- 완전 상태에 빠지기를 원합니다. 따라서 다른 문제가 그 풀에 굴복 할 때 특별한 설명이 필요하지 않습니다! 더 눈에 띄고 설명이 더 필요한 것은 (명백하게) 어려운 NP 문제 에 SAT의 중력 적 견인력에 저항 할 수있는 속성이있을 때 입니다. 그런 다음 그 속성 이 무엇인지 알고 싶습니다 . 부울 논리 게이트를 인코딩하는 가젯을 구성하는이 문제에 대해 일반적인 NP- 완전성 트릭을 수행 할 수없는 이유 는 무엇 입니까? 이 최근 CS 에서 해당 질문에 대한 일반적인 답변 목록을 작성했습니다.하지만 (다른 의견자가 이미 지적했듯이) 내가 놓친 다른 가능한 답변이 있습니다.

많은 자연 문제가 제약 만족 문제로 표현 될 수 있으며 CSP에 대한 이분법 이론이 있습니다.

농담 : Scott Aaronson의 좋은 답변에서 "SAT 중력 풀"에 대해 생각한 후에 또 다른 은유가 떠 올랐습니다. 3-SAT 2-SAT 샌드위치 !

...하지만 샌드위치에 천연 성분을 채울 수 있는지 모르겠지만 ( 2 + ( log n ) k 로 채울 수 있음을 알았습니다.-SAT 소스 [1] 지수 시간 가설이 참인 경우) :-D$(2 + \frac{(\log n)^k}{n^2})$

[1]의 또 다른 결과는 로 채울 수 없다는 것 입니다.$(2+1/n^{2−\epsilon}),0<\epsilon<2$

[1] Yunlei Zhao, Xiaotie Deng, CH Lee, Hong Zhu, -SAT 및 그 속성$(2+f(n))$ , 이산 응용 수학, 136 권, 1 호, 2004 년 1 월 30 일, 페이지 3-11, ISSN 0166 -218X.

우리는 지배 아웃 할 수없는 등의 가능성이 충분히 있다는 것을 자연 -intermediate 문제. 명백한 부족으로 인해 증명하는 데 필요한 필요한 기술과 도구의 부족이다 N P 일부 그럴듯한 복잡성 추측 (아 로라와 바락은 우리가 증명할 수 있다는 지적에 따라 -intermediate 상태를 N P 어떤 자연의 -intermediate 상태 N P의 경우에도 가정 문제 P를 ≠ N P ).$NP$$NP$$NP$$NP$$P \ne NP$

자연의 수문 것으로 보인다 -intermediate 문제가 열려 있습니다. Jonsson, Lagerkvist 및 Nordh 는 문제에 구멍을 뚫는 것으로 알려진 Ladner의 대각 화 기술을 확장하여 제약 만족 문제에 적용했습니다. 그들은 후보 인 CSP를 얻을 N P -intermediate 상태. 그들은 명제 납치 문제가 있음을 입증 N P -intermediate 조각을.$NP$$NP$$NP$

또한 Grohe 는 F P T ≠ W [ 1 ]을 가정 하여 중간 CSP 문제 가 있음을 증명했습니다 . 그는 해당 원시 그래프의 트리 너비를 제한하여 이러한 문제를 해결했습니다.$NP$$FPT \ne W[1]$

참고 문헌 :

1- M. Grohe. 다른 측면에서 볼 때 동질성과 제약 만족 문제의 복잡성. ACM 저널, 54 (1), 기사 1, 2007

2- Peter Jonsson, Victor Lagerkvist 및 Gustav Nordh. 만족을 제한하는 응용 프로그램으로 계산 문제의 다양한 측면에서 구멍을 뚫고. 제 19 차 국제 원칙 회의와 제약 프로그램 실습 (CP-2013) 진행 2013.

다음은 NP- 중간 문제의 Goldilocks 구조에 관한 동화입니다. (경고 :이 이야기는 잠재적 가설을 생성하고 테스트하는 데 유용한 오류 일 수 있지만 과학적으로 엄격하지는 않습니다. 일부는 지수 적 가설, Kolmogorov 복잡도 마법의 대시, SAT 이론에서 빌린 일부 조각에 의존합니다. 문제 해결을위한 테렌스 타오 (Terence Tao)의 휴리스틱 트리 코토미 (heuristic trichotomy).

NP의 문제에있는 거의 모든 인스턴스가 고도로 구조화되어 있으면 문제는 실제로 P에 있습니다. 따라서 인스턴스에는 거의 많은 중복성이 포함되어 있으며 문제에 대한 다항식 시간 알고리즘은 중복성을 배제하는 방법입니다. P의 모든 문제는 EXP에서 약간의 문제를 겪고 어떤 형태의 패딩 (일반적인 종류는 아님)을 통해 구조화 된 중복성을 추가함으로써 얻을 수 있다고 생각할 수도 있습니다. 이것이 사실이라면, 다항식 시간 알고리즘은 그 패딩을 취소하는 효율적인 방법으로 볼 수 있습니다.

구조화되지 않은 인스턴스가 충분하여 "경도 코어"를 형성하는 경우 문제는 NP- 완전입니다.

그러나,이 "경도 코어"가 너무 희박한 경우, SAT의 일부만 표현할 여지가 있으므로 문제는 P 또는 NP- 중간에 있습니다. (이 논쟁은 라드 너 정리의 본질이다). Scott의 비유를 사용하기 위해, "핵심 경도"는 문제가 NP- 완전 상태가되어 중력을 끌어 당깁니다. "경도 코어"의 인스턴스에는 많은 중복성이 포함되어 있지 않으며 모든 인스턴스에 작동하는 유일한 현실적인 알고리즘은 무차별 대입 검색입니다 (물론 무한히 많으면 테이블 조회도 작동 함).

이러한 관점에서 NP- 중간 문제는 실제로 구조화되지 않은 인스턴스와 구조화되지 않은 인스턴스간에 정밀한 Goldilocks 균형이 필요하기 때문에 드 물어야합니다. 인스턴스는 알고리즘에 부분적으로 적용 할 수있는 충분한 중복성을 가져야하지만 문제가 P가 아닌 경도의 코어가 충분해야합니다.

퍼즐을 기반으로 더 단순한 (그리고 재미 있지만 잠재적으로 더 잘못된) 이야기를 들려 줄 수 있습니다. NxN Sudoku가 NP-complete와 같이 몇 가지 제약 조건만으로도 많은 검색을 수행 할 수 있습니다. 이제 한 번에 많은 작은 퍼즐을 한 번에 풀도록 요청하는 것을 고려하십시오 (예 : 많은 9x9 스도쿠). 소요되는 시간은 각 인스턴스의 퍼즐 수에서 대략 선형이 될 것이며,이 문제는 P입니다. 중간 문제의 경우, 각 인스턴스가 지연된 (하지만 너무 크지는 않은) 수의 스도쿠 인 것으로 생각할 수 있습니다 (너무 크지는 않지만) 그리드. 우리가 그러한 많은 문제를 관찰하지 못하는 이유는 그들이 포즈를 취하고 해결하기에 욕심이 많기 때문입니다!

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$

$n$$\geq \log n$$\mathsf{NPI}$ $\mathsf{NP}$$x$$Q$$x$$Q$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NPI}$$\mathsf{NPC}$

$\mathsf{NPI}$$\mathsf{P}$