정지 여부를 알 수없는 가장 작은 튜링 기계는 무엇입니까?

31

나는 정지 문제가 일반적으로 결정 불가능하다는 것을 알고 있지만 분명히 멈추는 기계와 그렇지 않은 기계가 있습니다. 가능한 모든 튜링 머신 중에서 정지 여부에 대한 증거가없는 가장 작은 머신은 무엇입니까?

halting-problem

— 아론
소스

10

답은 기계 모델의 특성 (기호 수 등)에 따라 다릅니다. Busy Beaver의 Wikipedia 기사에 따르면 정지 여부에 대해 알 수없는 2 기호 5 크기 기계가 있습니다.

— Kaveh

1

Aaron의 질문은 주어진 언어의 결정 가능성에 관한 것이 아니라 실제로 특정 Turing 기계가 정지 한다는 증거가 있다는 것 입니다. 튜링 머신의 경우 "빈"입력에서이 머신이 정지되는지 여부와 상관없이 "그것"정지 문제는 "결정 가능"입니다. 예 또는 아니오이며 {Yes} 및 {No} 언어는 모두 결정 가능합니다. 이것은 기계가 정지한다는 증거 가 있는지와는 매우 다릅니다 . 당신이 평균 할 경우 아론, "가장 작은 것입니다

언어가되도록

중지됩니다

당신이 편집 질문을 기쁘게 할 수 있습니다, 결정 불가능하다"?

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— Michaël Cadilhac

1

MichaëlCadilhac @ 앞뒤가 맞지 않는 문제는 일반적으로 "기계 감안할 때,로 해석

및 입력

수행,

입력 정지를

?" 하지 "기계 감안할 때

, 않습니다

모든 입력에 대해 정지를?"

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— David Richerby 2013

@DavidRicherby : 나에게 멈추는 문제는 빈 입력에서 멈추는 기계 (코드)의 언어입니다. 여기서 의도 된 의미가 아닌 경우, 가능한 혼란을 없애기 위해 명시해야한다고 생각합니다.

— Michaël Cadilhac

문제를 연구하는 여러 가지 방법은 유효하고 상호 관련이 있으며 실제로 질문자가하지 않은 문제를 구별하는 데 미묘한 부분이 있습니다.

— vzn

38

정지 문제를 결정할 수있는 최대 튜링 기계는 다음과 같습니다.

$TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

$TM(2,4)$ $TM(3,3)$

$TM(4,2)$

Kaveh의 의견과 Mohammad의 답변은 정확하므로 이러한 종류의 결과에 사용되는 표준 / 비표준 Turing 기계의 공식적인 정의를 위해 Turlough Neary 및 Damien Woods는 소형 범용 Turing 기계에서 작동합니다 (예 : 소형 범용 Turing 기계 의 복잡성). 설문 조사 (규칙 110 TM은 약한 보편적입니다).

— 마르 치오 데 비아시
소스

2

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

2

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

32

Halting 문제가 ZFC와 무관 한 일부 Turing Machine이 있다고 덧붙이고 싶습니다.

예를 들어 ZFC에서 모순의 증거를 찾는 Turing 기계를 사용하십시오. 그런 다음 ZFC가 일관되면 중단되지 않지만 Zödel에서 증명할 수는 없습니다 (Gödel의 두 번째 불완전 성 정리로 인해).

따라서 아직 증거를 찾지 못한 문제 일뿐 아니라 때로는 증거도 존재하지 않습니다.

— 데니스
소스

ZFC? ZFC는 무엇을 의미합니까? 나는 문맥에서 그것을 알아낼 수 없다.

— 아카풀코

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Sasho Nikolov

롤! 승인. 나는 lmgtfy'ed했다. 터치 이 주제와 즉각적이고 유일하게 관련된 이니셜이라고 생각하지 않았습니다. 어쨌든 나는 처음 언급했을 때 "ZFC (Zermelo–Fraenkel set theory)"설명을 추가하고 애매함을 피하기 위해 애매하지 않는다고 생각합니까? :)

— Acapulco

16

@Acapulco, 여행 및 도움말 센터 를 참조하십시오 . 이론적 인 컴퓨터 과학자라면 ZFC가 무엇을 의미하는지 알 수 있으므로 설명이 필요하지 않습니다.

— Kaveh

1

2

$2$

5

Universal Turing 기계의 정지 여부에 대한 증거는 없습니다. 실제로 Halting 문제의 결정 불가능으로 인해 이러한 증거는 불가능합니다. 작은은 2 주 3 기호 범용 튜링입니다 그가 $ 25,000 상금을 수상하는 알렉스 스미스에 의해 발견 된 기계.

— 모하마드 알-투르 키스 타니
소스

4

그러나 인용 된 Wikipedia 페이지에 따르면 보편성 증명에 대해서는 논쟁의 여지가 있습니다. 또한 이것은 튜링 기계의 표준 모델이 아닙니다. 보편적으로 사용되는 기계는 정지 상태가 없으므로 최소한 보편적 인 튜링 기계가하는 일의 표준 의미에서 정지하는 기계를 시뮬레이션 할 수 없습니다.

— David Richerby

2

@DavidRicherby : 나는 규칙 110 의 약한 대학 성이 꽤 받아 들여 졌다고 생각합니다. 입력의 왼쪽과 오른쪽에 두 개의 다른 단어가 반복되어야하며 정지 조건은 특수 글라이더의 생성입니다 (만약 if and only if 시뮬레이션 된 기계가 정지됨). Matthew Cook의 "기본 셀룰러 오토마타 대학"을 참조하십시오.

— Marzio De Biasi

-4

몇 가지 특정 기술적 방식으로 연구 할 수있는 부정확하게 표현되었지만 합리적인 일반적인 질문. 상태 / 기호로 측정 된 많은 "소형"기계가 있지만 정지가 알려지지 않았지만 상태와 기호를 모두 고려한 TM의 복잡성에 대한 정당화 가능 / 수량화 가능한 측정법을 제시하지 않는 한 "최소"기계는 가능하지 않습니다 (명백하게 지금까지 아무도 제안하지 않았습니다).

$x \times y$ $x$ $y$

$x,y$

— vzn
소스

2

기호와 상태를 고려하여 메트릭을 설정할 필요는 없습니다. 테이프에 두 개의 기호가 있으면 거의 모든 수의 상태에서 정지 문제를 결정할 수 없다는 것이 분명합니다. 제가 기억 하듯이 5 개의 상태로 범용 TM을 작성할 수 있습니다. 결정 가능성의 정확한 경계를 알면 (# states, # symbols) 쌍으로 해당 경계를 쉽게 설명 할 수있을 것입니다.

— David Richerby 2013

바쁜 비버 연구는 실제로 TM이 작은 상태, 기호로 초기 설정을 중단했는지 여부에 대한 증거를 찾는 것입니다. 해결할 수있는 경우가 있습니다. "가장 작은"것을 원하는 경우 "작은"을 측정하는 정확한 메트릭을 만들어야합니다. 위의 pt는 상태 또는 기호 만 포함하는 메트릭은 모두 (및 보편적이라고 알려지지 않은) 알려진 경계를 나타내는 한 오해의 소지가있는 것으로 간주됩니다 . 이 연구에서 결정 불가능한 경계는 무엇이든, 그 기본적 본질로 명시하기가 쉽지 않다 ....

— vzn

1

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— David Richerby

아무도 지금까지 어떤 메트릭도 제안하지 않았습니다. 이 영역에서 중요한 경계는 "설명하기 쉬운"것이 아니며 Rices thm을 통해 시나리오가 불가능할 것으로 예상합니다. 이것은 보편적 인 것으로 알려진 것보다 작고 보편적 이지 않은 것으로 추측되는 기계의 입력에 대한 분해능에 관심이있는 연구 및 인용 된 참고 문헌에 대한 친숙성이 부족한 것으로 보인다 . 귀하의 의견은 보편적 인 비 유니버설 머신 경계에 초점을 맞추고있는 것으로 보입니다. 예를 들어 인용 된 참고 문헌 (위와 & Marzio 's)에서 탐색중인 바쁜 비버 결정 성 경계와 동일하지 않습니다.

— vzn

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$