최대 쌍별 분리 세트를 찾는 복잡성

가능한 에서 가져온 요소 가있는 세트 가 있다고 가정 합니다. 각 세트는 크기가 ( )이며, 세트가 겹칠 수 있습니다. 다음 두 가지 문제가 NP 완료인지 여부를 확인하고 싶습니다.$P$$r$$n$$n<r$

문제 A.이 거기에 ( ) 별개의 내 세트 세트 (즉, 자신의 쌍대 교차로가 비어)?$M$$1 \le M \le P$$P$

문제 B. 이제 ( ) 요소를 각 세트에서 선택할 수 있습니다. 거기 ( ) 뚜렷한 크기의 세트 내의 각 세트? 각각의 요소 세트에서 하나의 요소 세트 만 가져올 수 있습니다 .$k$$k<n$$L$$1 \le L \le P$$k$$P$$k$$n$

비고 : 이 고정 된 경우에 주로 관심 이 있습니다 ( ).$k,n$$n \ge 2, k \ge 2$

I는 A가 문제로 간주 될 수 있다고 생각 -uniform -partite 하이퍼 그래프 매칭 문제. 즉, 의 요소 를 꼭짓점으로하고 각 하이퍼 에지에는 그래프 의 꼭짓점의 하위 집합이 포함 됩니다.$n$$r$$r$$n$

1. 에서 -uniform -partite 하이퍼 그래프 매칭 문제 NP 완전?$n$$r$

2. 문제 B는 카디널리티 의 하이퍼 에지에서 가져온 카디널리티 의 고유 한 하이퍼 에지 수를 찾는 것과 같습니다 . 문제 A NP-complete 의이 제한된 버전 (각 카디널리티 세트가 임의로 선택된 요소가 아닌 미리 선택된 요소 세트에서 가져온다 는 의미 에서 )입니까?$k$$n$$k$$n$$r$

예 ( ) :$n=3,r=5, P=3$

$A=\{1,2,3\}$ , ,$B=\{2,3,4\}$$C=\{3,4,5\}$

경우 만 존재 인 하나의 별개 세트 또는 또는 쌍 각각 때문에, , , 비 보유 빈 교차로.$k=n=3$$M=1$$A$$B$$C$$(A,B)$$(A,C)$$(B,C)$

경우 , 우리가 구별 세트 : 하나의 해결책이 , (서브 세트 및$k=2$$L=2$$\{1,2\}$$\{3,4\}$$A$$B$).

이것은 최대 세트 패킹 문제 의 특수한 경우이며 문제 A와 B는 모두 NP 완료 입니다. 문제가 단순히 유의 일치 문제가 있는 경우$n=2$ 그리고 또한 쉬운 경우 $n=1$. 그래서 가정하겠습니다$n \ge 3$.

질문을하는 대신

거기 있어요 $M$ 사이의 분리 된 세트 $P$ 세트?

다음과 같은 질문을하겠습니다

우리가 얻을 수있는 최대 분리 세트 수는 얼마입니까? $P$ 세트?

두 번째 질문이 다항식 시간에 답할 수 있다면, 첫 번째 질문도이 최대 값과 비교하기 때문에해야합니다. $M$그리고 YES 이면 출력$M$이 최대 값보다 작거나 같고 그렇지 않으면 NO 입니다.

또한 첫 번째 질문이 다항식 시간에 답할 수 있으면 두 번째 질문도 이진 검색을 사용할 수 있기 때문에 $M$ 두 번째 질문에 대한 답을 얻고 $O(\log{M})$

따라서 우리는 두 질문이 동등하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 즉, 질문 1은 질문 2가 너무 많은 경우에만 가능하며 다항식 시간이다.

우리가 쉽게 다음을 확인할 수 있기 때문에 문제가 NP에 있다는 것이 분명합니다. $M$ 출력 된 세트는 분리되어 있습니다.

이제 문제는 알려진 NP-Hard 문제를 어떻게 줄일 수 있을까요? 이를 위해 최대 세트 패킹 문제를 줄입니다. 문제 B를 설정하여 쉽게 어려울 수 있기 때문에 문제 A에 집중할 것입니다.$k=n-1$

최대 세트 패킹 문제의 임의 인스턴스를 고려하십시오. $T$. 문제 A와 원래 최대 세트 패킹 문제의 유일한 차이점은 문제 A에서 세트의 크기가 같아야한다는 것입니다. 허락하다$t$ 모든 세트 중에서 최대 카디널리티 $T$. 모든 설정에$T$ 카디널리티가 같으면 설정이 완료되고 세트 커버 문제가 정확히 문제 A입니다. 이제 일부 세트의 경우 $S_i \in T$우리는 $|S_i| < t$. 우리는 단순히 추가$(t-|S_i|)$ 요소 $S_i$ 어떤 세트의 요소가 아닌 $T$. 모든 세트가 될 때까지이 과정을 반복합니다$S_i \in T$같은 크기입니다. 이러한 방식으로 새 요소를 추가해도 최대 분리 세트 수의 크기가 변경되지는 않습니다.

문제를 해결할 수 있다면 $A$ 다항식 시간에서 우리는 추가 한 추가 요소를 제거하기 만하면 다항식 시간에서 최대 세트 패킹 문제를 해결할 수 있으며, 이렇게해도 최대 분리 세트의 수는 변경되지 않습니다. $T$.

편집-문제 B에 대한 추가 정보

문제 B에 다항식 시간 솔루션이 있다고 가정하고 이제 임의 인스턴스를 고려하십시오. $T$ 문제 A의 $n$세트당 요소. 이제 우리는 더미 요소를 추가합니다$d$ 각 세트에 $T$. 이제 다음과 같은 질문을합니다.

우리가 취할 수있는 최대 분리 세트 수는 얼마입니까? $n$ 각 세트의 요소?

이제 최대 세트 중 최대 하나의 세트가 더미 요소를 포함 할 수 있다는 것을 알고 있습니다. $M$인스턴스의 실제 최대 세트 수 $T$ (우리의 원래 문제 A)는 $M$ 또는 $(M-1)$그러나 최대 세트 패킹에 대한 상수 계수 근사치를 제공합니다. 그리고 그러한 근사치는$P=NP$. 따라서 B 문제도 어렵습니다.