모노톤 -2CNF 공식의 계수 솔루션

Monotone-2CNF 공식은 각 절이 정확히 2 개의 양의 리터럴로 구성된 CNF 공식입니다.

이제 Monotone-2CNF 공식 있습니다. S 를 F를 만족시키는 할당 의 집합으로 하자 . 또한 다음 정보를 제공 할 수 있는 오라클 O 가 있습니다.$F$$S$$F$$O$

1. 세트 의 카디널리티 (즉, F 의 솔루션 수 )$S$$F$
2. 변수 주어지면 : $x$
   • 양의 리터럴 x를 포함하는 의 솔루션 수입니다 .$S$$x$
   • 음수 리터럴 ¬ x를 포함하는 의 솔루션 수입니다 .$S$$\lnot x$
3. 주어진 2 개의 변수 및 x 2 : $x_1$$x_2$
   • x 1 ∧ x 2를 포함하는 의 솔루션 수입니다 .$S$$x_1 \land x_2$
   • x 1 ∧ ¬ x 2를 포함하는 의 솔루션 수입니다 .$S$$x_1 \land \lnot x_2$
   • 의 솔루션의 수 함유 ¬ X 1 ∧ X 2 .$S$$\lnot x_1 \land x_2$
   • ¬ x 1 ∧ ¬ x 2를 포함하는 솔루션의 수입니다 .$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$

오라클 는 "제한적" 이라는 점에 유의하십시오 . F 에서만 작동 하며 공식 F ' ≠ F 에서는 사용할 수 없습니다 .$O$$F$$F' \neq F$

질문:

3 개의 변수 , x 2 , x 3 가 주어지면 다항식 시간에 ¬ x 1 ∧ ¬ x 2 ∧ ¬ x 3 을 포함하는 S 의 솔루션 수 를 F 와 O ?$x_1$$x_2$$x_3$$S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$F$$O$

노트 :

문제에서 을 x 1 , x 2 , x 3 의 8 가지 가능한 조합 중 하나로 바꿀 수 있습니다 . 문제는 동일하게 유지됩니다.$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land \lnot x_3$$x_1$$x_2$$x_3$

경험적 사실 :

나는 일주일 전에 다음과 같은 경험적 사실을 발견했습니다. 하자 함유하는 용액들의 집합 ¬ X 1 ∧ ¬ X 2 및하자 S ¬ X 1 ∧ ¬ X 2 ∧ X 3 ⊂ S 이러한 해결책의 세트가 포함된다 ¬ X 1 ∧ ¬ X 2 ∧ X 3 . 조건 $S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2$$S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3} \subset S$$\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3$$C$이 관계도 보유합니다.

φ=1.618033이 ...황금 비율이다. 조건C는"x1,x2,x3이F에서거의 같은 횟수로언급됩니다".$\frac{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2}|}{|S_{\lnot x_1 \land \lnot x_2 \land x_3}|} \simeq \phi$

$\phi = 1.618033...$$C$$x_1$$x_2$$x_3$$F$

그 경험적 사실을 사용하려면 근사 숫자가 다른 사람에게 근사 숫자를 줄 수 있는지 알고 싶습니다. 그러나 정확한 경우에는 이것이 어렵다는 것을 보여주는 간단한 방법이있을 수 있다고 생각합니다. 여기 스케치가 있습니다.

$T \subset S$$I \cap S = T$$|S|=k$

증명 개요 :

1. 2- 투영이 3- 투영을하는 경우, 각 k에 대해 k 시간을 폴리 타임으로 제공합니다.
2. 2- 투영이 4- 투영을하는 경우 독립 그래프 세트의 수는 FP에 있으므로 FP = # P입니다.

$k\geq 3$$x_1,...,x_k,v \in G$${x_1,...,x_k,v}$

$G'$$G'$$G'$${x_1,...,x_k,v}$

${e_1,...,e_m}$$G_k$${e_1,...,e_k}$$G_{k+1}$$G_k$$G_0$$2^{|G|}$

답이 아닌 일부 관찰.

문제에 대한 언급에 더하여, 3 개의 리터럴의 조합은 오라클이 제공 할 수있는 적은 수의 용어와 함께 동일한 변수에 대한 다른 리터럴의 조합으로 표현 될 수 있습니다. 이것은 3 개의 교차 세트의 벤 다이어그램을보고 8 개의 지역 각각을 다른 지역으로 표현한 결과입니다. 이것은 수식이 모노톤 또는 2CNF 일 필요는 없습니다.

$2^{n-3}$

따라서이 지수 크기 식을 다항식 크기로 압축하기 위해 모노톤 2CNF 인 특성을 이용할 수 있는지에 대한 의문이 실제로 있습니다.

단일 또는 쌍별 리터럴 조합의 수를 사용할 수없는 경우 오라클이 솔루션 수를 가진 어드바이스 문자열로 제한하는 간단한 질문을 보았습니다. 단일 리터럴과 관련하여 솔루션 수를 빠르게 계산하기 위해 솔루션 수에 대한 지식을 이용하는 방법을 알 수 없습니다.

$S$$x_1$$|S|$